Demonstrar a equação da velocidade da onda numa corda (relação entre tensão, densidade linear e velocidade).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado. Queremos demonstrar a relação entre a velocidade de propagação de uma onda transversal numa corda esticada, a tensão na corda e a sua densidade linear. Em termos matemáticos, precisamos mostrar a fórmula que liga a velocidade v (ou c) à tensão T e à densidade linear \mu.
Informações relevantes que vamos usar (conceitos que o enunciado fornece implicitamente):
  • A corda está esticada sob uma tensão constante T.
  • A corda tem densidade linear de massa \mu (massa por unidade de comprimento).
  • A onda considerada é transversal: a deformação é descrita por y(x,t), deslocamento perpendicular ao eixo x ao longo da corda.
  • Admitiremos pequenas oscilações (pequena amplitude), o que permite aproximações trigonométricas lineares.

Passo 2

Definir variáveis e desenhar mentalmente um elemento da corda. Seja x a coordenada ao longo da corda e y(x,t) o deslocamento transversal num ponto x e tempo t. Considere um elemento da corda entre x e x+\mathrm{d}x.
  • Comprimento do elemento (aproximadamente) \mathrm{d}x.
  • Massa do elemento \mathrm{d}m = \mu\,\mathrm{d}x.
  • Tensão em cada extremidade: vetores \vec{T}(x) e \vec{T}(x+\mathrm{d}x). Pela hipótese de corda esticada, as magnitudes são praticamente iguais e valem T; apenas as direções mudam ligeiramente.
  • Ângulo que a corda faz com o eixo x em x é \theta(x), com \tan\theta(x)=\dfrac{\partial y}{\partial x}(x,t).
Explicação da aproximação de pequena amplitude: quando a inclinação é pequena temos \theta pequeno e as aproximações úteis são
\sin\theta \approx \tan\theta \approx \frac{\partial y}{\partial x}.
Isso simplifica muito as contas e é permitido para pequenas oscilações (caso de prova típico).

Passo 3

Escrever as componentes verticais das forças de tensão nas extremidades do elemento. A resultante vertical das tensões é a força responsável pela aceleração vertical do pedaço de corda.
  • Componente vertical da tensão em x: T_y(x) = T\sin\theta(x).
  • Componente vertical da tensão em x+\mathrm{d}x: T_y(x+\mathrm{d}x)=T\sin\theta(x+\mathrm{d}x).
A força vertical líquida sobre o elemento é
F_y = T\sin\theta(x+\mathrm{d}x) - T\sin\theta(x).
Usando a aproximação de pequena inclinação ( \sin\theta\approx \partial y/\partial x) podemos escrever
F_y \approx T\left[\frac{\partial y}{\partial x}(x+\mathrm{d}x,t) - \frac{\partial y}{\partial x}(x,t)\right].

Passo 4

Aproximar a diferença por derivada (expansão de Taylor). Para uma função suave,
\frac{\partial y}{\partial x}(x+\mathrm{d}x,t) - \frac{\partial y}{\partial x}(x,t) \approx \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)\mathrm{d}x = \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}(x,t)\,\mathrm{d}x.
Substituindo isso em F_y obtemos
F_y \approx T\,\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}(x,t)\,\mathrm{d}x.
Aqui a ideia física: a curvatura da corda ( \partial^2 y/\partial x^2) produz uma diferença de inclinações que resulta numa força vertical proporcional à tensão.

Passo 5

Aplicar a segunda lei de Newton ao elemento da corda (equilíbrio dinâmico): massa vezes aceleração igual à força resultante.
  • Massa do elemento: \mathrm{d}m = \mu\,\mathrm{d}x.
  • Aceleração vertical do elemento: \dfrac{\partial^2 y}{\partial t^2}(x,t).
Newton dá
\mathrm{d}m\;\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = F_y.
Substituindo \mathrm{d}m e F_y:
\mu\,\mathrm{d}x\;\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}(x,t) = T\,\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}(x,t)\,\mathrm{d}x.

Passo 6

Simplificar a equação cancelando \mathrm{d}x e reorganizar para obter a equação de onda:
Cancelando \mathrm{d}x em ambos os lados:
\mu\;\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}(x,t) = T\;\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}(x,t).
Reescrevendo,
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}(x,t) = \frac{T}{\mu}\;\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}(x,t).
Essa é a equação de onda unidimensional padrão. Compare com a forma canônica
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2},
onde c é a velocidade de propagação. Portanto identificamos
c^2 = \frac{T}{\mu}\quad\Rightarrow\quad c = \sqrt{\frac{T}{\mu}}.

Passo 7

Interpretação física e unidades. Verificação dimensional: T tem unidades de força ( \mathrm{N}=\mathrm{kg\;m/s^2}), \mu tem unidades \mathrm{kg/m}. Assim T/\mu tem unidades \mathrm{m^2/s^2} e \sqrt{T/\mu} tem unidades \mathrm{m/s}, compatível com velocidade. Físicamente:
  • Quanto maior a tensão T, maior a velocidade c.
  • Quanto maior a massa por comprimento \mu, menor a velocidade c.
Exemplo numérico rápido: se T=100\\ \mathrm{N} e \mu=0,01\\ \mathrm{kg/m} então
c=\sqrt{\frac{100}{0,01}}=\sqrt{10000}=100\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Solução geral da equação de onda e significado prático. A equação
\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}
tem como solução geral (no caso de bordo livre ou para ondas viajantes)
y(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct),
onde f e g são funções arbitrárias definidas pelas condições iniciais. Isso mostra explicitamente que perturbações viajam para a direita com velocidade c e para a esquerda com velocidade c.

Passo 9

Hipóteses usadas e limitações da derivação (dicas de prova). A derivação usa:
  • Pequena amplitude ( \partial y/\partial x pequeno) para aproximar \sin\theta\approx\partial y/\partial x.
  • Tensão T praticamente constante ao longo do elemento (corda esticada uniformemente).
  • Densidade linear \mu constante.
  • Ausência de forças dissipativas (sem amortecimento), e desconsideração do peso próprio ou outras forças externas na direção vertical (ou sua influência é desprezível para pequenas oscilações).
Se alguma dessas hipóteses falhar (grandes amplitudes, tensão variável, massa por comprimento variável, amortecimento), a relação c=\sqrt{T/\mu} pode não valer exatamente.

Resposta

v = \sqrt{\dfrac{T}{\mu}}

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