Demonstrar a equação da velocidade da onda numa corda (relação entre tensão, densidade linear e velocidade).
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado. Queremos demonstrar a relação entre a velocidade de propagação de uma onda transversal numa corda esticada, a tensão na corda e a sua densidade linear. Em termos matemáticos, precisamos mostrar a fórmula que liga a velocidade
(ou
) à tensão
e à densidade linear
.
Informações relevantes que vamos usar (conceitos que o enunciado fornece implicitamente):
- A corda está esticada sob uma tensão constante
. - A corda tem densidade linear de massa
(massa por unidade de comprimento). - A onda considerada é transversal: a deformação é descrita por
, deslocamento perpendicular ao eixo ao longo da corda. - Admitiremos pequenas oscilações (pequena amplitude), o que permite aproximações trigonométricas lineares.
Passo 2
Definir variáveis e desenhar mentalmente um elemento da corda. Seja
a coordenada ao longo da corda e
o deslocamento transversal num ponto
e tempo
. Considere um elemento da corda entre
e
.
- Comprimento do elemento (aproximadamente)
. - Massa do elemento
. - Tensão em cada extremidade: vetores
e . Pela hipótese de corda esticada, as magnitudes são praticamente iguais e valem ; apenas as direções mudam ligeiramente. - Ângulo que a corda faz com o eixo
em é , com .
Explicação da aproximação de pequena amplitude: quando a inclinação é pequena temos
pequeno e as aproximações úteis são
Isso simplifica muito as contas e é permitido para pequenas oscilações (caso de prova típico).
Passo 3
Escrever as componentes verticais das forças de tensão nas extremidades do elemento. A resultante vertical das tensões é a força responsável pela aceleração vertical do pedaço de corda.
- Componente vertical da tensão em
: . - Componente vertical da tensão em
: .
A força vertical líquida sobre o elemento é
Usando a aproximação de pequena inclinação (
) podemos escrever
Passo 4
Aproximar a diferença por derivada (expansão de Taylor). Para uma função suave,
Substituindo isso em
obtemos
Aqui a ideia física: a curvatura da corda (
) produz uma diferença de inclinações que resulta numa força vertical proporcional à tensão.
Passo 5
Aplicar a segunda lei de Newton ao elemento da corda (equilíbrio dinâmico): massa vezes aceleração igual à força resultante.
- Massa do elemento:
. - Aceleração vertical do elemento:
.
Newton dá
Substituindo
e
:
Passo 6
Simplificar a equação cancelando
e reorganizar para obter a equação de onda:
Cancelando
em ambos os lados:
Reescrevendo,
Essa é a equação de onda unidimensional padrão. Compare com a forma canônica
onde
é a velocidade de propagação. Portanto identificamos
Passo 7
Interpretação física e unidades. Verificação dimensional:
tem unidades de força (
),
tem unidades
. Assim
tem unidades
e
tem unidades
, compatível com velocidade. Físicamente:
- Quanto maior a tensão
, maior a velocidade . - Quanto maior a massa por comprimento
, menor a velocidade .
Exemplo numérico rápido: se
e
então
Passo 8
Solução geral da equação de onda e significado prático. A equação
tem como solução geral (no caso de bordo livre ou para ondas viajantes)
onde
e
são funções arbitrárias definidas pelas condições iniciais. Isso mostra explicitamente que perturbações viajam para a direita com velocidade
e para a esquerda com velocidade
.
Passo 9
Hipóteses usadas e limitações da derivação (dicas de prova). A derivação usa:
- Pequena amplitude (
pequeno) para aproximar . - Tensão
praticamente constante ao longo do elemento (corda esticada uniformemente). - Densidade linear
constante. - Ausência de forças dissipativas (sem amortecimento), e desconsideração do peso próprio ou outras forças externas na direção vertical (ou sua influência é desprezível para pequenas oscilações).
Se alguma dessas hipóteses falhar (grandes amplitudes, tensão variável, massa por comprimento variável, amortecimento), a relação
pode não valer exatamente.