Questão 02. Os pontos A(7,2) e B(12,14) são vértices consecutivos de um quadrado A B C D. Determine os outros dois vértices, sabendo que todos os pontos estão acima do eixo das abcissas.
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas dos vértices consecutivos A e B de um quadrado A B C D:
A(7,2).
B(12,14).
O que o problema pede:
Determinar os outros dois vértices C e D do quadrado, sabendo que todos os pontos (ou seja, A,B,C,D) estão acima do eixo das abscissas (isto é, têm ordenada positiva).
Passo 2
Entendendo o que significa ter dois vértices consecutivos de um quadrado:
Se A e B são vértices consecutivos, então o segmento \overrightarrow{AB} é um lado do quadrado. O próximo lado, \overrightarrow{BC}, tem a mesma magnitude que \overrightarrow{AB} e é perpendicular a ele.
Em linguagem de vetores: se \overrightarrow{AB}=(x,y), então um vetor perpendicular de mesmo comprimento pode ser obtido girando \overrightarrow{AB} em 90^\circ. As duas rotações possíveis são:\text{rotacão }90^\circ\\ \text{no sentido anti-horário}:\quad (x,y)\mapsto(-y,x),ãá
Assim, para achar C podemos somar a B o vetor \overrightarrow{BC} (que é a rotação de \overrightarrow{AB}); para achar D podemos somar a A esse mesmo vetor \overrightarrow{BC}. Vou aplicar essas duas possibilidades e usar a condição “todas as ordenadas positivas” para escolher a solução correta.
Passo 3
Calcular o vetor \overrightarrow{AB} e seu comprimento:
(É bom verificar o comprimento porque o lado do quadrado deve ser esse.)
Passo 4
Gerar os dois vetores perpendiculares de mesma magnitude (as duas rotações de 90^\circ):
Rotação anti-horária (90^\circ CCW):
\overrightarrow{BC}_\text{CCW}=(-12,5).
Rotação horária (90^\circ CW):
\overrightarrow{BC}_\text{CW}=(12,-5).
Cada um desses tem norma
\sqrt{(-12)^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13,
confirmando que têm o mesmo comprimento que \overrightarrow{AB}.
Passo 5
Calcular as coordenadas de C e D para a primeira possibilidade (rotação anti-horária):
C = B + \overrightarrow{BC}_\text{CCW} = (12,14)+(-12,5) = (12-12,\;14+5)=(0,19).
D = A + \overrightarrow{BC}_\text{CCW} = (7,2)+(-12,5) = (7-12,\;2+5)=(-5,7).
Verificações rápidas (ensina e dá segurança):
Produto interno para verificar perpendicularidade:\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}_\text{CCW}=(5,12)\cdot(-12,5)=5\cdot(-12)+12\cdot5=-60+60=0,então são perpendiculares.
Normas iguais já conferimos (ambas 13), logo os lados têm mesmo comprimento.
Ordenadas: A tem ordenada 2, B tem 14, C tem 19, D tem 7; todas são positivas, então a condição “acima do eixo das abscissas” é satisfeita.
Passo 6
Calcular as coordenadas de C e D para a segunda possibilidade (rotação horária):
C = B + \overrightarrow{BC}_\text{CW} = (12,14)+(12,-5) = (24,9).
D = A + \overrightarrow{BC}_\text{CW} = (7,2)+(12,-5) = (19,-3).
Verificações:
Aqui D tem ordenada -3, que é negativa, ou seja, D estaria abaixo do eixo das abscissas e portanto essa solução viola a condição do enunciado.
Passo 7
Conclusão: entre as duas construções possíveis do quadrado (girando \overrightarrow{AB} em 90^\circ para um dos lados), apenas a rotação anti-horária produz todos os vértices com ordenadas positivas. Assim os outros vértices do quadrado A B C D são