Questão 02. Sejam \vec{u}=(4,1), \vec{v}=(-2,3) e \vec{w}=(16,11) vetores. Encontrar a e b tal que a \vec{u}+b \vec{v}=\vec{w}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(4,1), \vec{v}=(-2,3) e \vec{w}=(16,11) e pede para encontrar os escalares a e b tais que
a\vec{u}+b\vec{v}=\vec{w}.
As informações relevantes são:
  • \vec{u}=(4,1),
  • \vec{v}=(-2,3),
  • \vec{w}=(16,11),
  • incógnitas: os números \,a e \,b.

Passo 2

Ideia-chave (aula rápida): uma combinação linear a\vec{u}+b\vec{v} é apenas multiplicar cada vetor pelo escalar correspondente e somar componente a componente. Dois vetores são iguais quando todas as suas componentes correspondentes são iguais. Portanto, para achar a e b basta igualar componente a componente da equação vetorial.

Passo 3

Escrevendo a igualdade componente a componente, obtemos o sistema linear (peguei os componentes dos vetores fornecidos):
4a + (-2)b = 16
1a + 3b = 11
ou de forma mais limpa:
4a - 2b = 16
a + 3b = 11.

Passo 4

Vou resolver o sistema por substituição (método simples e rápido sem calculadora). Da segunda equação isolo a:
a = 11 - 3b.
Explico: isolar significa deixar a sozinho num lado da igualdade para substituir depois.

Passo 5

Substituo a na primeira equação:
4(11 - 3b) - 2b = 16.
Faço as contas passo a passo:
44 - 12b - 2b = 16,
44 - 14b = 16.
Agora isolando b:
-14b = 16 - 44 = -28,
b = \frac{-28}{-14} = 2.

Passo 6

Com b=2, volto para a = 11 - 3b:
a = 11 - 3\cdot 2 = 11 - 6 = 5.

Passo 7

Verificação final (sempre faça isto na prova para garantir que não houve erro): calculo a\vec{u}+b\vec{v} com os valores encontrados (peguei as componentes originais dos vetores):
5\vec{u} + 2\vec{v} = 5(4,1) + 2(-2,3) = (20,5) + (-4,6) = (16,11),
que é exatamente \vec{w}. Portanto os valores estão corretos.

Resposta

a=5
b=2

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