Questão 02 (2.0 pontos)

Os instrumentos do avião (A) indicam que, em relação ao ar, ele se desloca a 30^{\circ} nordeste, com uma velocidade aerodinâmica de 480 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Ao mesmo tempo, o radar do navio (B) indica que a velocidade relativa do avião, em relação ao navio, é de 416 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, na direção 33^{\circ} nordeste. Sabendo que o navio se desloca para o sul a 20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, calcule:
a) A velocidade do avião
b) A velocidade e a direção do vento.

Passo 1

Resumindo o enunciado: o avião § tem velocidade relativa ao ar de \,480 \mathrm{km/h} no rumo N 30\circE, e pelo radar do navio (S) sua velocidade relativa ao navio é de \,416 \mathrm{km/h} no rumo N 33\circE. O navio se move para o sul a \,20 \mathrm{km/h}. Vamos achar:
  1. A velocidade do avião em relação ao solo \mathbf{V}_{P/G}.
  2. A velocidade do vento (ou seja, a velocidade do ar em relação ao solo) \mathbf{V}_{A/G}.

Passo 2

Escolhemos eixos: \hat{\imath} para leste e \hat{\jmath} para norte. Convertendo os vetores em componentes:
Velocidade do avião em relação ao ar:
\mathbf{V}_{P/A} =480\bigl(\sin30\circ\,\hat{\imath}+\cos30\circ\,\hat{\jmath}\bigr) =480\bigl(0{,}5\,\hat{\imath}+0{,}8660\,\hat{\jmath}\bigr) =(240\,\hat{\imath}+415{,}69\,\hat{\jmath})\;\mathrm{km/h}.
Velocidade do avião em relação ao navio:
\mathbf{V}_{P/S} =416\bigl(\sin33\circ\,\hat{\imath}+\cos33\circ\,\hat{\jmath}\bigr) \approx416\bigl(0{,}5440\,\hat{\imath}+0{,}8391\,\hat{\jmath}\bigr) \approx(226{,}30\,\hat{\imath}+349{,}48\,\hat{\jmath})\;\mathrm{km/h}.
Velocidade do navio em relação ao solo:
\mathbf{V}_{S/G} =0\,\hat{\imath}-20\,\hat{\jmath}\quad(\text{sul a }20\mathrm{km/h}).

Passo 3

A relação entre vetores é
\mathbf{V}_{P/G} =\mathbf{V}_{P/S}+\mathbf{V}_{S/G}.
Logo,
\mathbf{V}_{P/G} =(226{,}30\,\hat{\imath}+349{,}48\,\hat{\jmath}) +(0\,\hat{\imath}-20\,\hat{\jmath}) =(226{,}30\,\hat{\imath}+329{,}48\,\hat{\jmath})\;\mathrm{km/h}.

Passo 4

Calculamos a magnitude e o rumo de \mathbf{V}_{P/G}:
\|\mathbf{V}_{P/G}\| =\sqrt{226{,}30^{2}+329{,}48^{2}} \approx399{,}7\;\mathrm{km/h}.
O rumo mede-se a partir do norte para leste:
\theta =\arctan\!\bigl(\tfrac{226{,}30}{329{,}48}\bigr) \approx34{,}6\circ.
Isto é, N 34{,}6\circE.

Passo 5

Para achar a velocidade do vento (ar em relação ao solo) usamos
\mathbf{V}_{A/G} =\mathbf{V}_{P/G}-\mathbf{V}_{P/A}.
Substituindo:
\mathbf{V}_{A/G} =(226{,}30\,\hat{\imath}+329{,}48\,\hat{\jmath}) -(240\,\hat{\imath}+415{,}69\,\hat{\jmath}) =(-13{,}70\,\hat{\imath}-86{,}21\,\hat{\jmath})\;\mathrm{km/h}.

Passo 6

Magnitude e direção de \mathbf{V}_{A/G}:
\|\mathbf{V}_{A/G}\| =\sqrt{(-13{,}70)^{2}+(-86{,}21)^{2}} \approx87{,}3\;\mathrm{km/h}.
O vetor aponta para sudoeste, o ângulo a partir do sul em direção ao oeste é
\varphi =\arctan\!\bigl(\tfrac{13{,}70}{86{,}21}\bigr) \approx9{,}0\circ,
ou seja, rumo S 9{,}0\circW.

Resposta

(a) Velocidade do avião em relação ao solo: \,399{,}7 \mathrm{km/h}, rumo N 34{,}6\circE.
(b) Velocidade do vento: \,87{,}3 \mathrm{km/h}, rumo S 9{,}0\circW.

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