Determine a energia de deformação devido ao momento fletor da viga. O módulo EI é constante.

Passo 1

O enunciado pede a energia de deformação (ou energia interna) apenas devido ao momento fletor numa viga com rigidez à flexão constante EI.
Conteúdo envolvido: teoria da energia de deformação em vigas pelo método dos esforços internos. Vamos usar que a energia é obtida integrando a energia volumétrica associada ao esforço de flexão ao longo do comprimento da viga.

Passo 2

Em elasticidade, a energia de deformação é
U = \tfrac12 \int_{V} \sigma\,\varepsilon \,dV.
No caso de flexão pura, em cada seção transversal a tensão varia linearmente com a distância y ao eixo neutro e a curvatura é
\kappa(x)=\frac{M(x)}{EI}.
Mostrando as contas (ver teoremas de flexão), chega-se à expressão de energia por unidade de comprimento
u(x)=\frac{M^2(x)}{2\,EI}.

Passo 3

Para obter a energia total da viga, integramos u(x) ao longo do comprimento L:
U = \int_{0}^{L} u(x)\,dx = \int_{0}^{L} \frac{M^2(x)}{2\,EI}\,dx.

Resposta

U = \int_{0}^{L} \frac{M^2(x)}{2\,EI}\,dx.

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