QUESTÃO 02(1,0): Nas questões de 01 a 03, marque a tinta, APENAS UMA ALTERNATIVA, sem cálculos, já nas questões 04 e 05 , não oculte cálculos e considere M é seu último dígito de sua matrícula, considerar M=1 caso M=0.
O determinante de \boldsymbol{M}\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\\ a & b & c \\\ a^{2} & b^{2} & c^{2}\end{array}\right], onde N é o seu penúltimo digito de sua matrícula é igual a
(a) M\left[(a-b)^{2}(b-c)^{2}(c-a)^{2}\right]
(b) \boldsymbol{M}\left(\boldsymbol{a}^{\mathbf{2}}+\boldsymbol{b}^{\mathbf{2}}+\boldsymbol{c}^{\mathbf{2}}\right)
(c) M^{3}[(a-b)(b-c)(c-a)]
(d) \boldsymbol{M}[(a+b)(b+c)(c+a)]
(e) \boldsymbol{M}\left(b c^{2}+c a^{2}+a b^{2}\right)
(f) Nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado pede o valor do determinante de M\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\\ a & b & c \\\ a^{2} & b^{2} & c^{2}\end{array}\right]. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz dentro dos colchetes é \displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\[4pt] a & b & c\\[4pt] a^{2} & b^{2} & c^{2}\end{pmatrix}.
  • M é o seu último dígito da matrícula (caso seja 0, considerar M=1). Interpretar M como um escalar multiplicando a matriz inteira: estamos calculando \det(MA).
  • A pergunta é escolher, entre as alternativas (a)–(f), qual expressão corresponde ao determinante pedido.]

Passo 2

Propriedade importante (que vamos usar): se A é uma matriz n\times n e k é um escalar, então
\det(kA)=k^{n}\det(A).
Explicação rápida e intuitiva: multiplicar uma coluna (ou linha) de uma matriz por k multiplica o determinante por k. Multiplicar toda a matriz por k é o mesmo que multiplicar cada uma das n colunas por k, logo o fator total é k^{n}. Como aqui a matriz é 3\times3, teremos
\det(MA)=M^{3}\det(A).

Passo 3

Agora calculamos \det(A), onde
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\\[4pt] a & b & c\\[4pt] a^{2} & b^{2} & c^{2}\end{pmatrix}.
Esta é a forma clássica do determinante de Vandermonde. Vamos obtê-lo por operações elementares (sem alterar o determinante) de forma passo a passo:
  1. Faço as operações de coluna C_{2}\leftarrow C_{2}-C_{1} e C_{3}\leftarrow C_{3}-C_{1}. Essas operações não mudam o determinante. A matriz torna-se
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] a & b-a & c-a\\[4pt] a^{2} & b^{2}-a^{2} & c^{2}-a^{2} \end{pmatrix}.
  1. Expando o determinante pela primeira linha (que é (1,0,0)). Assim
\det(A)=1\cdot \det\begin{pmatrix} b-a & c-a \\[4pt] b^{2}-a^{2} & c^{2}-a^{2} \end{pmatrix}.
  1. Observe que b^{2}-a^{2}=(b-a)(b+a) e c^{2}-a^{2}=(c-a)(c+a). Então o 2\times2 acima pode ser fatorado:
\det(A)=(b-a)(c-a)\det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\[4pt] b+a & c+a \end{pmatrix}.
  1. Calcule o determinante do 2\times2:
\det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\[4pt] b+a & c+a \end{pmatrix} = (1)(c+a)-(1)(b+a)=c-b.
  1. Portanto
\det(A)=(b-a)(c-a)(c-b).
Observação: a expressão acima é equivalente à forma simétrica muitas vezes escrita para Vandermonde, por exemplo (a-b)(b-c)(c-a); para três variáveis essas versões coincidem (mesmas diferenças apenas reordenadas e com sinais que se cancelam).]

Passo 4

Usando o resultado do Passo 2 ( \det(MA)=M^{3}\det(A)) e o resultado do Passo 3, obtemos
\det\!\bigl(MA\bigr)=M^{3}\,(b-a)(c-a)(c-b).
Como notado, isso é igual a
M^{3}\,(a-b)(b-c)(c-a).
Agora compare com as alternativas dadas: a alternativa (c) é M^{3}[(a-b)(b-c)(c-a)], que coincide com a expressão que encontramos.

Passo 5

Interpretação final: o determinante pedido é exatamente a expressão da alternativa (c).

Resposta

(c)

Exercícios relacionados