Use a redução Gauss-Jordan para resolver cada um dos seguintes sistemas
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear e pede os valores de
e
:
Informações relevantes fornecidas:
- As duas equações acima são a única informação que temos.
- O objetivo é encontrar os números
e que simultaneamente satisfazem ambas as equações.]
Passo 2
Vamos representar o sistema pela matriz aumentada (linha com coeficientes e coluna com termos independentes). A matriz aumentada é:
Explicação: cada linha corresponde a uma equação; a primeira coluna é os coeficientes de
, a segunda coluna os coeficientes de
e a coluna à direita da barra é o termo independente.]
Passo 3
Breve explicação do método Gauss-Jordan (passo a passo):
- Objetivo: transformar a parte esquerda da matriz (os coeficientes) na matriz identidade
, usando operações elementares de linha. - Operações permitidas (sempre preservam o conjunto de soluções):
- trocar duas linhas;
- multiplicar uma linha por um número não nulo;
- somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
- Quando obtivermos a forma reduzida por linhas (matriz identidade na esquerda), os termos à direita são os valores de
e .
Passo 4
Escolhemos como primeiro pivô o elemento da primeira linha e primeira coluna, que já é
. Vamos eliminar o elemento abaixo dele para obter zero na posição
. Aplicamos a operação
Calculando componente a componente:
- Nova entrada
: . - Nova entrada
: . - Novo termo independente da linha 2:
.
Passo 5
A matriz após essa operação fica:
Passo 6
Agora queremos que a segunda linha tenha pivô igual a
na coluna 2. Para isso multiplicamos a segunda linha por
:
Calculando:
- Nova entrada
: . - Novo termo independente da linha 2:
.
Passo 7
A matriz fica agora:
Passo 8
Próxima etapa do Gauss-Jordan: eliminar o coeficiente acima do pivô da coluna 2, isto é, tornar zero a entrada
. Fazemos:
Calculando:
- Nova entrada
: . - Nova entrada
: . - Novo termo independente da linha 1:
.
Passo 9
A matriz está agora na forma reduzida por linhas:
Essa forma é a matriz identidade à esquerda; portanto podemos ler diretamente as soluções:
- A primeira linha diz
. - A segunda linha diz
.]
Passo 10
Verificação rápida (substituir na equação original):
- Na primeira equação:
(confere). - Na segunda equação:
(confere).