Use a redução Gauss-Jordan para resolver cada um dos seguintes sistemas
\begin{array}{r}x_{1}+x_{2}=-1 \\\ 4 x_{1}-3 x_{2}=3\end{array}

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear e pede os valores de x_{1} e x_{2}:
\begin{array}{r} x_{1}+x_{2}=-1\\[4pt] 4x_{1}-3x_{2}=3 \end{array}
Informações relevantes fornecidas:
  • As duas equações acima são a única informação que temos.
  • O objetivo é encontrar os números \,x_{1} e \,x_{2} que simultaneamente satisfazem ambas as equações.]

Passo 2

Vamos representar o sistema pela matriz aumentada (linha com coeficientes e coluna com termos independentes). A matriz aumentada é:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & -1\\[4pt] 4 & -3 & 3 \end{array}\right]
Explicação: cada linha corresponde a uma equação; a primeira coluna é os coeficientes de \,x_{1}, a segunda coluna os coeficientes de \,x_{2} e a coluna à direita da barra é o termo independente.]

Passo 3

Breve explicação do método Gauss-Jordan (passo a passo):
  • Objetivo: transformar a parte esquerda da matriz (os coeficientes) na matriz identidade \,I, usando operações elementares de linha.
  • Operações permitidas (sempre preservam o conjunto de soluções):
    1. trocar duas linhas;
    2. multiplicar uma linha por um número não nulo;
    3. somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
  • Quando obtivermos a forma reduzida por linhas (matriz identidade na esquerda), os termos à direita são os valores de \,x_{1} e \,x_{2}.

Passo 4

Escolhemos como primeiro pivô o elemento da primeira linha e primeira coluna, que já é 1. Vamos eliminar o elemento abaixo dele para obter zero na posição (2,1). Aplicamos a operação
\text{L}_2 \leftarrow \text{L}_2 - 4\text{L}_1.
Calculando componente a componente:
  • Nova entrada (2,1): 4 - 4\cdot1 = 0.
  • Nova entrada (2,2): -3 - 4\cdot1 = -3 - 4 = -7.
  • Novo termo independente da linha 2: 3 - 4\cdot(-1) = 3 + 4 = 7.

Passo 5

A matriz após essa operação fica:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & -1\\[4pt] 0 & -7 & 7 \end{array}\right]]

Passo 6

Agora queremos que a segunda linha tenha pivô igual a 1 na coluna 2. Para isso multiplicamos a segunda linha por -\dfrac{1}{7}:
\text{L}_2 \leftarrow -\dfrac{1}{7}\text{L}_2.
Calculando:
  • Nova entrada (2,2): -\dfrac{1}{7}\cdot(-7)=1.
  • Novo termo independente da linha 2: -\dfrac{1}{7}\cdot 7 = -1.

Passo 7

A matriz fica agora:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 1 & -1 \end{array}\right]]

Passo 8

Próxima etapa do Gauss-Jordan: eliminar o coeficiente acima do pivô da coluna 2, isto é, tornar zero a entrada (1,2). Fazemos:
\text{L}_1 \leftarrow \text{L}_1 - \text{L}_2.
Calculando:
  • Nova entrada (1,1): 1 - 0 = 1.
  • Nova entrada (1,2): 1 - 1 = 0.
  • Novo termo independente da linha 1: -1 - (-1) = -1 + 1 = 0.

Passo 9

A matriz está agora na forma reduzida por linhas:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -1 \end{array}\right]
Essa forma é a matriz identidade à esquerda; portanto podemos ler diretamente as soluções:
  • A primeira linha diz \,x_{1}=0.
  • A segunda linha diz \,x_{2}=-1.]

Passo 10

Verificação rápida (substituir na equação original):
  • Na primeira equação: x_{1}+x_{2}=0+(-1)=-1 (confere).
  • Na segunda equação: 4x_{1}-3x_{2}=4\cdot0-3\cdot(-1)=0+3=3 (confere).

Resposta

x_{1}=0
x_{2}=-1

Exercícios relacionados