Questão 02: Responda os itens a seguir:
a) Uma força de 100 N (Newtons) atua normal a um plano de
. Quais são as tensões normal e de cisalhamento atuando nesse plano?
b) O plano é rotacionado de modo que forme
em relação à força ou
do item b. Quais são a tensão normal e a tensão cisalhante máxima atuando nesse plano, bem como o ângulo
?
a) Uma força de 100 N (Newtons) atua normal a um plano de
b) O plano é rotacionado de modo que forme
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
-
Dados fornecidos:
- Força:
. - Área do plano:
. - No item (a) a força atua normal ao plano inicial.
- No item (b) o plano é rotacionado de modo que forma
em relação à direção da força (ou seja, o ângulo entre a normal original ao plano — que está alinhada com a força — e a nova normal é ).
- Força:
-
Perguntas:
- (a) Quais são a tensão normal e a tensão de cisalhamento atuando nesse plano (quando a força é normal ao plano)?
- (b) Para o plano rotacionado em
: (i) quais são a tensão normal e a tensão de cisalhamento sobre esse plano; (ii) qual é a tensão de cisalhamento máxima atuando (no sistema) e em que ângulo ela ocorre?
Passo 2
Conceitos básicos (aulas rápidas e necessárias para a prova).
- Definição de tensão normal: a tensão normal
em uma área é a componente da força por unidade de área que age perpendicularmente à superfície. Fórmula:
onde
é a componente normal da força sobre a área
.
- Definição de tensão de cisalhamento: a tensão de cisalhamento
é a componente tangencial (paralela) da força por unidade de área:
onde
é a componente tangencial da força.
- Unidade: tanto
quanto têm unidade .
No caso inicial (item a), a força é totalmente normal ao plano, então não há componente tangencial:
e a tensão de cisalhamento é zero. Vamos calcular os valores numéricos.
Passo 3
Calcular as tensões do item (a).
- Calcular a tensão normal quando a força é perpendicular ao plano:
Substituindo
e
:
- A tensão de cisalhamento é
pois não há componente tangencial da força (força totalmente normal).
Interpretação rápida: o plano “sente” uma tração/compressão normal de
e nenhum cisalhamento.
Passo 4
Transformação de tensões para um plano rotacionado — fórmulas que vamos usar (explicadas).
Considere um estado de tensão no plano original com:
As tensões numa superfície cujo vetor normal forma um ângulo
com o eixo
(convenção usada aqui) são dadas por:
- Tensão normal na nova superfície:
- Tensão de cisalhamento na nova superfície (com sinal):
Explicação das variáveis:
-
é a tensão normal em um plano com normal no eixo . -
é a tensão normal em um plano com normal no eixo . -
é a tensão de cisalhamento associada aos planos e . -
é o ângulo entre o eixo (que toma-se alinhado com a força original) e a normal do plano considerado.
No nosso problema:
- A força está alinhada com o eixo
. Assim . - Não há tensão normal na direção
, então . - Não há cisalhamento no sistema original, então
.
Substituindo esses valores nas fórmulas simplificadas:
- Como
e ,
Estas formas são muito úteis e fáceis de aplicar em prova: para um estado uniaxial com
e
, tem-se
e
.
Passo 5
Calcular as tensões no plano rotacionado de
(item b, primeira parte).
-
Substituir
e . -
. -
.
-
-
Tensão normal:
- Tensão de cisalhamento (valor com sinal; a magnitude é o que importa para “quanto” é o cisalhamento):
Portanto a magnitude do cisalhamento é
.
Interpretação: ao girar o plano
, a carga que era totalmente normal se resolve em metade normal e metade em cisalhamento (em magnitude).
Passo 6
Tensão de cisalhamento máxima e ângulo onde ocorre (segunda parte do item b).
- Para um estado uniaxial
, , os esforços principais (valores máximos e mínimos de tensão normal) são:
Aqui
,
,
, então
ou seja
e
.
- O raio de Mohr (que também é o valor máximo da tensão de cisalhamento) é
Numericamente,
- O ângulo
(medido como antes, entre o eixo e a normal do plano) onde a tensão de cisalhamento atinge seu valor máximo é (ou deslocado da direção das tensões principais). Isso coincide com o cálculo do passo anterior: o plano em produz exatamente .
Resumo didático rápido: em um estado uniaxial a maior tensão de cisalhamento é metade da tensão normal aplicada, e aparece em planos a
das direções principais.
Resposta
(a)
(b) Para o plano com :
Tensão de cisalhamento máxima: , ocorrendo em
.
(b) Para o plano com
Tensão de cisalhamento máxima: