Questão 02: Responda os itens a seguir:
a) Uma força de 100 N (Newtons) atua normal a um plano de 0,1 \mathrm{~m}^{2}. Quais são as tensões normal e de cisalhamento atuando nesse plano?
b) O plano é rotacionado de modo que forme 45^{\circ} em relação à força ou \sigma_{n} do item b. Quais são a tensão normal e a tensão cisalhante máxima atuando nesse plano, bem como o ângulo \theta ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos:
    • Força: F=100\\ \mathrm{N}.
    • Área do plano: A=0{,}1\\ \mathrm{m}^2.
    • No item (a) a força atua normal ao plano inicial.
    • No item (b) o plano é rotacionado de modo que forma 45^\circ em relação à direção da força (ou seja, o ângulo entre a normal original ao plano — que está alinhada com a força — e a nova normal é \theta=45^\circ).
  • Perguntas:
    • (a) Quais são a tensão normal e a tensão de cisalhamento atuando nesse plano (quando a força é normal ao plano)?
    • (b) Para o plano rotacionado em \theta=45^\circ: (i) quais são a tensão normal e a tensão de cisalhamento sobre esse plano; (ii) qual é a tensão de cisalhamento máxima atuando (no sistema) e em que ângulo \theta ela ocorre?

Passo 2

Conceitos básicos (aulas rápidas e necessárias para a prova).
  • Definição de tensão normal: a tensão normal \sigma em uma área é a componente da força por unidade de área que age perpendicularmente à superfície. Fórmula:
\sigma=\frac{F_n}{A},
onde F_n é a componente normal da força sobre a área A.
  • Definição de tensão de cisalhamento: a tensão de cisalhamento \tau é a componente tangencial (paralela) da força por unidade de área:
\tau=\frac{F_t}{A},
onde F_t é a componente tangencial da força.
  • Unidade: tanto \sigma quanto \tau têm unidade \mathrm{Pa}=\mathrm{N/m^2}.
No caso inicial (item a), a força é totalmente normal ao plano, então não há componente tangencial: F_t=0 e a tensão de cisalhamento é zero. Vamos calcular os valores numéricos.

Passo 3

Calcular as tensões do item (a).
  • Calcular a tensão normal quando a força é perpendicular ao plano:
\sigma=\frac{F}{A}.
Substituindo F=100\\ \mathrm{N} e A=0{,}1\\ \mathrm{m}^2:
\sigma=\frac{100}{0{,}1}=1000\\ \mathrm{Pa}.
  • A tensão de cisalhamento é
\tau=0\\ \mathrm{Pa},
pois não há componente tangencial da força (força totalmente normal).
Interpretação rápida: o plano “sente” uma tração/compressão normal de 1000\\ \mathrm{Pa} e nenhum cisalhamento.

Passo 4

Transformação de tensões para um plano rotacionado — fórmulas que vamos usar (explicadas).
Considere um estado de tensão no plano original com:
\sigma_x=\text{tensão normal na direção }x,\qquad \sigma_y=\text{tensão normal na direção }y,\qquad \tau_{xy}=\text{cisalhamento no sistema }xy.ãçããçã
As tensões numa superfície cujo vetor normal forma um ângulo \theta com o eixo x (convenção usada aqui) são dadas por:
  • Tensão normal na nova superfície:
\sigma_n=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos(2\theta)+\tau_{xy}\sin(2\theta).
  • Tensão de cisalhamento na nova superfície (com sinal):
\tau_n=-\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin(2\theta)+\tau_{xy}\cos(2\theta).
Explicação das variáveis:
  • \sigma_x é a tensão normal em um plano com normal no eixo x.
  • \sigma_y é a tensão normal em um plano com normal no eixo y.
  • \tau_{xy} é a tensão de cisalhamento associada aos planos x e y.
  • \theta é o ângulo entre o eixo x (que toma-se alinhado com a força original) e a normal do plano considerado.
No nosso problema:
  • A força está alinhada com o eixo x. Assim \sigma_x=\sigma=1000\\ \mathrm{Pa}.
  • Não há tensão normal na direção y, então \sigma_y=0.
  • Não há cisalhamento no sistema original, então \tau_{xy}=0.
Substituindo esses valores nas fórmulas simplificadas:
  • Como \tau_{xy}=0 e \sigma_y=0,
\sigma_n=\frac{\sigma}{2}+\frac{\sigma}{2}\cos(2\theta)=\sigma\frac{1+\cos(2\theta)}{2}=\sigma\cos^2\theta.
\tau_n=-\frac{\sigma}{2}\sin(2\theta).
Estas formas são muito úteis e fáceis de aplicar em prova: para um estado uniaxial com \sigma_x=\sigma e \sigma_y=\tau_{xy}=0, tem-se \sigma_n=\sigma\cos^2\theta e |\tau_n|=\dfrac{\sigma}{2}|\sin(2\theta)|.

Passo 5

Calcular as tensões no plano rotacionado de \theta=45^\circ (item b, primeira parte).
  • Substituir \sigma=1000\\ \mathrm{Pa} e \theta=45^\circ.
    • \cos^2(45^\circ)=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}.
    • \sin(2\cdot 45^\circ)=\sin(90^\circ)=1.
  • Tensão normal:
\sigma_n=\sigma\cos^2\theta=1000\cdot\frac{1}{2}=500\\ \mathrm{Pa}.
  • Tensão de cisalhamento (valor com sinal; a magnitude é o que importa para “quanto” é o cisalhamento):
\tau_n=-\frac{\sigma}{2}\sin(2\theta)=-\frac{1000}{2}\cdot 1=-500\\ \mathrm{Pa}.
Portanto a magnitude do cisalhamento é |\tau_n|=500\\ \mathrm{Pa}.
Interpretação: ao girar o plano 45^\circ, a carga que era totalmente normal se resolve em metade normal e metade em cisalhamento (em magnitude).

Passo 6

Tensão de cisalhamento máxima e ângulo onde ocorre (segunda parte do item b).
  • Para um estado uniaxial \sigma_x=\sigma, \sigma_y=\tau_{xy}=0, os esforços principais (valores máximos e mínimos de tensão normal) são:
\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}.
Aqui \sigma_x=\sigma, \sigma_y=0, \tau_{xy}=0, então
\sigma_{1,2}=\frac{\sigma}{2}\pm\frac{\sigma}{2},
ou seja \sigma_1=\sigma e \sigma_2=0.
  • O raio de Mohr (que também é o valor máximo da tensão de cisalhamento) é
\tau_{\max}=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}=\frac{\sigma}{2}.
Numericamente,
\tau_{\max}=\frac{1000}{2}=500\\ \mathrm{Pa}.
  • O ângulo \theta (medido como antes, entre o eixo x e a normal do plano) onde a tensão de cisalhamento atinge seu valor máximo é \theta=45^\circ (ou \theta=45^\circ deslocado da direção das tensões principais). Isso coincide com o cálculo do passo anterior: o plano em 45^\circ produz exatamente |\tau_n|=\tau_{\max}.
Resumo didático rápido: em um estado uniaxial a maior tensão de cisalhamento é metade da tensão normal aplicada, e aparece em planos a 45^\circ das direções principais.

Resposta

(a) \sigma_n=1000\\ \mathrm{Pa},\quad \tau=0\\ \mathrm{Pa}
(b) Para o plano com \theta=45^\circ: \sigma_n=500\\ \mathrm{Pa},\quad |\tau|=500\\ \mathrm{Pa}.
Tensão de cisalhamento máxima: \tau_{\max}=500\\ \mathrm{Pa}, ocorrendo em \theta=45^\circ.

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