A cylindrical plug of gummite* is placed in a cylindrical hole in a rigid block of stiffite.* Then the plug is compressed axially (parallel to the axis of the hole). Assume that the plug exactly fits the hole and that the stiffite does not deform at all. Assume elastic deformation and that Hooke’s law holds. Derive an expression for the ratio of the axial strain to the axial stress, \varepsilon_{\mathrm{a}} / \sigma_{\mathrm{a}}, in the gummite in terms of Young’s modulus, E, and Poisson’s ratio, v, of the gummite.

Passo 1

O enunciado dá um tampão cilíndrico de gummite encaixado perfeitamente num furo cilíndrico em bloco rígido de stiffite. O tampão é comprimido axialmente (no eixo do cilindro). Pressuposições importantes que vou usar (tirei estas da descrição do problema):
  • O tampão encaixa exatamente no furo, logo sua deformação lateral é impedida pelo bloco rígido.
  • O stiffite não deforma: a gummite tem \varepsilon_r=\varepsilon_\theta=0 (as deformações radial e circunferencial/tangencial são nulas).
  • Deformação elástica linear: vale a lei de Hooke tridimensional para material isotrópico.
    O que se pede:
  • Encontrar a razão \displaystyle \frac{\varepsilon_{\mathrm{a}}}{\sigma_{\mathrm{a}}} da gummite (axial), em função de E e v (aqui uso v para Poisson).

Passo 2

Vou escrever a lei de Hooke linear para um material isotrópico em 3D na forma conveniente (relações tensões → deformações). Para cada direção i (por exemplo r,\theta,a) vale:
\varepsilon_i=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_i - v(\sigma_j+\sigma_k)\bigr),
onde:
  • \varepsilon_i é a deformação na direção i,
  • \sigma_i é a tensão na direção i,
  • E é o módulo de Young,
  • v é a razão de Poisson,
  • j,k são as outras duas direções distintas de i.
    Explicando: cada deformação é proporcional à própria tensão, diminuída pelo efeito de Poisson das tensões nas outras duas direções.

Passo 3

Aplicando isto ao nosso caso com coordenadas cilíndricas (radial r, tangencial/circunferencial \theta, axial a):
\varepsilon_r=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_r - v(\sigma_\theta+\sigma_a)\bigr),
\varepsilon_\theta=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_\theta - v(\sigma_r+\sigma_a)\bigr),
\varepsilon_a=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_a - v(\sigma_r+\sigma_\theta)\bigr).
Pelo enunciado as deformações laterais são nulas, então \varepsilon_r=\varepsilon_\theta=0. Além disso, por simetria do cilindro e do contato com o furo, as tensões nas direções radial e circunferencial são iguais: \sigma_r=\sigma_\theta=\sigma_t (tensão tangencial). Substituindo em \varepsilon_r=0 obtemos:
0=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_t - v(\sigma_t+\sigma_a)\bigr).
Multiplicando por E e rearranjando:
\sigma_t - v\sigma_t - v\sigma_a=0 \quad\Rightarrow\quad \sigma_t(1-v)=v\sigma_a.
Logo:
\sigma_t=\frac{v}{1-v}\,\sigma_a.

Passo 4

Agora substituo \sigma_r+\sigma_\theta=2\sigma_t na expressão de \varepsilon_a:
\varepsilon_a=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_a - v(2\sigma_t)\bigr) =\frac{1}{E}\bigl(\sigma_a - 2v\sigma_t\bigr).
Substituo \sigma_t=\dfrac{v}{1-v}\sigma_a:
\varepsilon_a=\frac{1}{E}\left(\sigma_a - 2v\cdot\frac{v}{1-v}\sigma_a\right) =\frac{\sigma_a}{E}\left(1-\frac{2v^2}{1-v}\right).
Colocando numa única fração:
\varepsilon_a=\frac{\sigma_a}{E}\cdot\frac{1-v-2v^2}{1-v}.

Passo 5

Isolo a razão pedida dividindo por \sigma_a:
\frac{\varepsilon_{\mathrm{a}}}{\sigma_{\mathrm{a}}}=\frac{1}{E}\,\frac{1-v-2v^2}{1-v}.

Resposta

\frac{\varepsilon_{\mathrm{a}}}{\sigma_{\mathrm{a}}}=\frac{1}{E}\,\frac{1-v-2v^{2}}{1-v}.

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