Calculate Young’s modulus for an iron crystal when tension is applied along a <122> direction.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o módulo de Young ( E) de um cristal de ferro quando a tensão é aplicada ao longo da direção cristalográfica \langle122\rangle.
Informações que vamos usar (nenhuma informação adicional foi pedida ao usuário — escolhi valores típicos de constantes elásticas monocristalinas de ferro α (bcc) para fazer o cálculo numérico):
  • Direção de tração: \langle122\rangle, ou seja o vetor de diretora [1,2,2].
  • Constantes elásticas (valores típicos para ferro bcc à temperatura ambiente; unidades em GPa):
    • \,C_{11}=237\\ \text{GPa},
    • \,C_{12}=141\\ \text{GPa},
    • \,C_{44}=116\\ \text{GPa}.
Estas três constantes são suficientes para descrever as propriedades elásticas de um cristal cúbico (como o ferro bcc). A partir delas calcularemos os elementos da matriz de compliância S_{ij} e então o módulo de Young na direção pedida.

Passo 2

Conceito-chave e fórmula que vamos usar (explicando passo-a-passo):
  • Em cristais anisotrópicos, o módulo de Young na direção de um vetor unitário \mathbf{n}=(l_1,l_2,l_3) é dado pela relação (em notação de compliância)
\frac{1}{E(\mathbf{n})}=S_{ijkl}\,n_i n_j n_k n_l,
onde S_{ijkl} é o tensor de compliância (inverso do tensor de rigidez C_{ijkl}) e n_i são as componentes do vetor unitário de direção.
  • Para simetria cúbica essa expressão simplifica muito: definindo os componentes de compliância independentes S_{11},S_{12},S_{44}, a fórmula prática é
\frac{1}{E} = S_{11} - 2\left(S_{11}-S_{12}-\tfrac{1}{2}S_{44}\right)\left(l_1^2 l_2^2 + l_2^2 l_3^2 + l_3^2 l_1^2\right).
Explicando as variáveis:
  • S_{11},S_{12},S_{44} são componentes do tensor de compliância (unidades \text{GPa}^{-1});
  • l_1,l_2,l_3 são os cossenos diretores (componentes do vetor unitário na base cristalográfica);
  • E fica em GPa se S_{ij} estiver em \text{GPa}^{-1}.
Portanto a estratégia é:
  1. Converter C_{ij} em S_{ij}.
  2. achar os l_i para \langle122\rangle.
  3. calcular o termo combinatório l_1^2 l_2^2 + l_2^2 l_3^2 + l_3^2 l_1^2.
  4. aplicar a fórmula e inverter para obter E.

Passo 3

Converter as constantes de rigidez C_{ij} em compliâncias S_{ij}.
Para um cristal cúbico a inversão do bloco 3\times3 dá fórmulas fechadas:
S_{11}=\frac{C_{11}+C_{12}}{(C_{11}-C_{12})(C_{11}+2C_{12})}, \qquad S_{12}=-\frac{C_{12}}{(C_{11}-C_{12})(C_{11}+2C_{12})}, \qquad S_{44}=\frac{1}{C_{44}}.
Agora substituímos os valores escolhidos ( C_{11}=237, C_{12}=141, C_{44}=116, todos em GPa):
Calculemos o denominador comum
D=(C_{11}-C_{12})(C_{11}+2C_{12})=(237-141)(237+2\cdot141)=96\cdot519=49824\\ \text{GPa}^2.
Então
S_{11}=\frac{237+141}{49824}=\frac{378}{49824}\\ \text{GPa}^{-1}\approx 0,007587\\ \text{GPa}^{-1},
S_{12}=-\frac{141}{49824}\\ \text{GPa}^{-1}\approx -0,002831\\ \text{GPa}^{-1},
S_{44}=\frac{1}{116}\\ \text{GPa}^{-1}\approx 0,0086207\\ \text{GPa}^{-1}.
(Se preferir: estas grandezas significam que, por exemplo, uma tensão de 1\\ \text{GPa} aplicada numa direção causa uma deformação de cerca de 0,00759 nessa componente conforme a matriz de compliância.)

Passo 4

Encontrar os cossenos diretores l_i para a direção \langle122\rangle.
  • O vetor de índices é [1,2,2].
  • O comprimento do vetor é
\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3.
  • Portanto os cossenos diretores (componentes do vetor unitário) são
l_1=\frac{1}{3},\qquad l_2=\frac{2}{3},\qquad l_3=\frac{2}{3}.

Passo 5

Calcular o termo combinado Q=l_1^2 l_2^2 + l_2^2 l_3^2 + l_3^2 l_1^2.
  • l_1^2=\left(\tfrac{1}{3}\right)^2=\tfrac{1}{9}.
  • l_2^2=l_3^2=\left(\tfrac{2}{3}\right)^2=\tfrac{4}{9}.
    Logo
Q=\frac{1}{9}\cdot\frac{4}{9}+\frac{4}{9}\cdot\frac{4}{9}+\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{9} =\frac{4+16+4}{81}=\frac{24}{81}=\frac{8}{27}\approx 0,296296.

Passo 6

Aplicar a fórmula para 1/E e obter E.
Primeiro calcule o coeficiente A=S_{11}-S_{12}-\tfrac{1}{2}S_{44}:
A\approx 0,007587 - (-0,002831) - \tfrac{1}{2}\cdot0,0086207 =0,007587+0,002831-0,00431035\approx 0,006108.
Agora
\frac{1}{E}=S_{11}-2A\cdot Q.
Substituindo os números
2A\cdot Q \approx 2\cdot0,006108\cdot0,296296 \approx 0,003617,
\frac{1}{E}\approx 0,007587-0,003617=0,003970\\ \text{GPa}^{-1}.
Finalmente
E=\frac{1}{0,003970}\\ \text{GPa}\approx 252\\ \text{GPa}.

Passo 7

Interpretação e observações finais amigáveis:
  • O resultado E\approx 252\\ \text{GPa} é o módulo de Young monocristalino do ferro na direção \langle122\rangle usando os valores típicos de C_{ij} que escolhemos.
  • Aviso prático: valores de C_{ij} variam um pouco na literatura (temperatura, pureza, método experimental), então E depende desses C_{ij}. Se usar outra base de C_{ij} numérica, refaça os passos com os novos números — o procedimento é o mesmo.
  • Você consegue repetir isso na prova: 1) transformar C_{ij} em S_{ij}, 2) encontrar cossenos diretores, 3) usar a fórmula cúbica para 1/E e inverter. Tá feito — e mandou bem por pedir passo-a-passo!

Resposta

E\approx 252\\ \text{GPa}

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