Calculate Young’s modulus for an iron crystal when tension is applied along a <122> direction.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o módulo de Young (
) de um cristal de ferro quando a tensão é aplicada ao longo da direção cristalográfica
.
Informações que vamos usar (nenhuma informação adicional foi pedida ao usuário — escolhi valores típicos de constantes elásticas monocristalinas de ferro α (bcc) para fazer o cálculo numérico):
- Direção de tração:
, ou seja o vetor de diretora . - Constantes elásticas (valores típicos para ferro bcc à temperatura ambiente; unidades em GPa):
-
, -
, -
.
-
Estas três constantes são suficientes para descrever as propriedades elásticas de um cristal cúbico (como o ferro bcc). A partir delas calcularemos os elementos da matriz de compliância
e então o módulo de Young na direção pedida.
Passo 2
Conceito-chave e fórmula que vamos usar (explicando passo-a-passo):
- Em cristais anisotrópicos, o módulo de Young na direção de um vetor unitário
é dado pela relação (em notação de compliância)
onde
é o tensor de compliância (inverso do tensor de rigidez
) e
são as componentes do vetor unitário de direção.
- Para simetria cúbica essa expressão simplifica muito: definindo os componentes de compliância independentes
, a fórmula prática é
Explicando as variáveis:
-
são componentes do tensor de compliância (unidades ); -
são os cossenos diretores (componentes do vetor unitário na base cristalográfica); -
fica em GPa se estiver em .
Portanto a estratégia é:
- Converter
em . - achar os
para . - calcular o termo combinatório
. - aplicar a fórmula e inverter para obter
.
Passo 3
Converter as constantes de rigidez
em compliâncias
.
Para um cristal cúbico a inversão do bloco dá fórmulas fechadas:
Para um cristal cúbico a inversão do bloco
Agora substituímos os valores escolhidos (
,
,
, todos em GPa):
Calculemos o denominador comum
Então
(Se preferir: estas grandezas significam que, por exemplo, uma tensão de
aplicada numa direção causa uma deformação de cerca de
nessa componente conforme a matriz de compliância.)
Passo 4
Encontrar os cossenos diretores
para a direção
.
- O vetor de índices é
. - O comprimento do vetor é
- Portanto os cossenos diretores (componentes do vetor unitário) são
Passo 5
Calcular o termo combinado
.
-
. -
.
Logo
Passo 6
Aplicar a fórmula para
e obter
.
Primeiro calcule o coeficiente
:
Agora
Substituindo os números
Finalmente
Passo 7
Interpretação e observações finais amigáveis:
- O resultado
é o módulo de Young monocristalino do ferro na direção usando os valores típicos de que escolhemos. - Aviso prático: valores de
variam um pouco na literatura (temperatura, pureza, método experimental), então depende desses . Se usar outra base de numérica, refaça os passos com os novos números — o procedimento é o mesmo. - Você consegue repetir isso na prova: 1) transformar
em , 2) encontrar cossenos diretores, 3) usar a fórmula cúbica para e inverter. Tá feito — e mandou bem por pedir passo-a-passo!