Questão 02

A seguinte função de transferência não esta escrita na forma padrão:
G(s)=2(s+0.5)(s+2)(2 s+1) e^-5 s
a) Reescreva a função de transferência de forma a explicitar as constantes de tempo e o ganho estático.
b) Determine o ganho, polos e zeros.
c) Substitua o termo de tempo morto por uma aproximação de Padé de 1^ a ordem e repita o item anterior.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de transferência com tempo morto
G(s)=2,(s+0.5)(s+2),(2s+1),e^-5s
Precisamos (a) escrever em forma padrão evidenciando o ganho estático K e as constantes de tempo, (b) extrair K, os polos e zeros, e (c) repetir (b) após aproximar e^-5s por Padé de primeira ordem.

Passo 2

Para pôr na forma padrão notamos:
– zero em s=-0.5 Rightarrow tauz=1/0.5=2,
– polos em s=-2 Rightarrow taup1=1/2=0.5 e em s=-0.5 Rightarrow taup2=2.
Assim podemos escrever
G(s)=K;tauz s+1(taup1s+1)(taup2s+1),e^-5s =K;2s+1(0.5s+1)(2s+1),e^-5s =K0.5s+1,e^-5s
O ganho estático é G(0)=K/1. Como G(0)=2cdot0.5/(2cdot1)=0.5 temos K=0.5. Logo
G(s)=0.50.5,s+1,e^-5s

Passo 3

Na forma padrão sem aproximação:
– Ganho estático K=0.5.
– Polo remanescente em 0.5s+1=0 Rightarrow s=-2.
– O zero em s=-0.5 foi cancelado pelo polo em 2s+1.
(Se quisermos listar na forma original antes do cancelamento, havia zero em s=-0.5 e polos em s=-2 e s=-0.5.)

Passo 4

Aproximação de Padé de 1ª ordem para e^-5s é
e^-5sapprox1-52s1+52s
Multiplicando por G(s)=dfrac0.50.5s+1 obtemos
Grm pade(s) =0.50.5s+1,1-52s1+52s =1s+2,1-2.5s1+2.5s =1-2.5s(s+2),(1+2.5s)
O ganho estático é
Grm pade(0)=12=0.5
O numerador zera em 1-2.5s=0 Rightarrow s=0.4.
O denominador gera a equação 2.5s^2+6s+2=0 cujas raízes são
s=-6pmraiz36-205=-0.4,,-2

Resposta

a) G(s)=0.50.5,s+1,e^-5s, com ganho estático K=0.5 e constante de tempo tau=0.5.
b) Ganho estático 0.5; polos em s=-2 (único efetivo após cancelamento); zero em s=-0.5 cancelado.
c)
Grm pade(s)=1-2.5s(s+2),(1+2.5s),
com ganho estático 0.5, zeros em s=0.4 e polos em s=-2 e s=-0.4.

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