Questão 02: (0,5) Seja
tal que
. Prove a unicidade do elemento oposto multiplicativo de
.
Passo 1
O enunciado dá: seja
com
. Pede-se provar a unicidade do elemento oposto multiplicativo de
.
O que significa “elemento oposto multiplicativo” aqui: é um número
tal que
onde
é o elemento neutro multiplicativo dos reais. A tarefa é mostrar que não podem existir dois elementos distintos que satisfaçam essa propriedade: isto é, se
e
satisfazem
e
, então necessariamente
.
Passo 2
Vou listar as propriedades da multiplicação dos reais que vou usar (e explicar rapidamente por que elas valem):
- Elemento neutro: para todo
vale . Isso vem da definição de . - Associatividade: para todo
vale . Significa que ao multiplicar três números não importa como agrupamos. - Comutatividade: para todo
vale . Nos reais a ordem não importa.
Essas propriedades permitem fazer as manipulações algébricas que seguem (substituir
por
, reagrupar fatores e trocar ordem quando necessário).
Passo 3
Assuma que existem
tais que
Queremos mostrar que
.
Passo 4
Começo a partir de
e uso o neutro multiplicativo:
Passo 5
Substituo
por
(pois
por hipótese) e aplico associatividade:
Passo 6
Como a multiplicação é comutativa nos reais,
. Pela hipótese
, logo
. Substituindo em
obtemos
Passo 7
Juntando os passos anteriores temos a cadeia
Portanto
. Isso mostra que quaisquer dois elementos que sejam inversos multiplicativos de
coincidem, ou seja, o inverso multiplicativo de
é único.
Resposta
Sejam
tais que
e
. Então
, logo o inverso multiplicativo de
é único.