Questão 02: (0,5) Seja a \in \mathbb{R} tal que a \neq 0. Prove a unicidade do elemento oposto multiplicativo de a.

Passo 1

O enunciado dá: seja a\in\mathbb{R} com a\neq0. Pede-se provar a unicidade do elemento oposto multiplicativo de a.
O que significa “elemento oposto multiplicativo” aqui: é um número b\in\mathbb{R} tal que
a b = 1,
onde 1 é o elemento neutro multiplicativo dos reais. A tarefa é mostrar que não podem existir dois elementos distintos que satisfaçam essa propriedade: isto é, se b e c satisfazem a b = 1 e a c = 1, então necessariamente b=c.

Passo 2

Vou listar as propriedades da multiplicação dos reais que vou usar (e explicar rapidamente por que elas valem):
  • Elemento neutro: para todo x\in\mathbb{R} vale 1\cdot x = x. Isso vem da definição de 1.
  • Associatividade: para todo x,y,z\in\mathbb{R} vale (x y) z = x (y z). Significa que ao multiplicar três números não importa como agrupamos.
  • Comutatividade: para todo x,y\in\mathbb{R} vale x y = y x. Nos reais a ordem não importa.
Essas propriedades permitem fazer as manipulações algébricas que seguem (substituir 1 por a c, reagrupar fatores e trocar ordem quando necessário).

Passo 3

Assuma que existem b,c\in\mathbb{R} tais que
a b = 1 \qquad\text{e}\qquad a c = 1.
Queremos mostrar que b=c.

Passo 4

Começo a partir de b e uso o neutro multiplicativo:
b = b\cdot 1.

Passo 5

Substituo 1 por a c (pois a c = 1 por hipótese) e aplico associatividade:
b = b\cdot 1 = b\cdot (a c) = (b a) c.

Passo 6

Como a multiplicação é comutativa nos reais, b a = a b. Pela hipótese a b = 1, logo b a = 1. Substituindo em (b a) c obtemos
(b a) c = 1\cdot c = c.

Passo 7

Juntando os passos anteriores temos a cadeia
b = b\cdot 1 = b\cdot (a c) = (b a) c = 1\cdot c = c.
Portanto b=c. Isso mostra que quaisquer dois elementos que sejam inversos multiplicativos de a coincidem, ou seja, o inverso multiplicativo de a é único.

Resposta

Sejam b,c\in\mathbb{R} tais que a b = 1 e a c = 1. Então b=c, logo o inverso multiplicativo de a é único.

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