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- O tratamento por hemodiálise remove ureia e outros produtos residuais do sangue de um paciente desviando parte da corrente sanguínea externamente para uma máquina chamada dialisador. A taxa na qual a ureia é removida do sangue, em mg/min, em geral, é bem descrita pela equação:
onde,
é a taxa de escoamento do sangue pelo dialisador, em
é o volume do sangue do paciente, em
e
é a quantidade de ureia no sangue, em
, no instante
.
Considerando
e
, calcule
. Interprete o resultado.
- O tratamento por hemodiálise remove ureia e outros produtos residuais do sangue de um paciente desviando parte da corrente sanguínea externamente para uma máquina chamada dialisador. A taxa na qual a ureia é removida do sangue, em mg/min, em geral, é bem descrita pela equação:
Considerando
Passo 1
O enunciado fornece a taxa de remoção de ureia do sangue
e pede que se calcule
quando
e
, além de interpretar o resultado.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão da taxa é
, onde as unidades de são . - Dado numérico:
. - Limite superior do tempo:
. -
é a quantidade inicial de ureia no sangue, em . - O que se pede: (i) calcular
com os dados acima; (ii) interpretar fisicamente o valor obtido.
Passo 2
Primeiro simplificamos a função taxa usando
. Substituindo na fórmula temos
Aqui troquei a variável de integração mais adiante para não confundir o limite superior que também se chama
.
Passo 3
Entendendo o que a integral representa: quando
é uma taxa de remoção (em
), a integral
é a quantidade total de ureia (em mg) removida do tempo
até o tempo
. Note que usei uma variável dummy
dentro da integral para evitar ambiguidade com o limite superior.
Passo 4
Agora escrevemos a integral específica que precisamos calcular (com
):
Fatorando
(constante em relação a
) obtemos
Recordando a primitiva: a derivada de
é
, portanto uma antiderivada de
é
. Assim,
Passo 5
Aplicando a antiderivada nos limites
e
:
Agora calculamos as exponenciais:
e
. Substituindo:
Passo 6
Interpretação física do resultado:
significa que, no intervalo de tempo de
até
minutos, foi removida do sangue uma quantidade total de ureia igual à metade da quantidade inicial
. Em outras palavras, com
a constante de decaimento é 1 e o tempo
é o “meio-vida” da remoção — após esse tempo resta também
mg no sangue.
Resposta
Foi removida metade da ureia inicial; resta
mg no sangue.