1. O tratamento por hemodiálise remove ureia e outros produtos residuais do sangue de um paciente desviando parte da corrente sanguínea externamente para uma máquina chamada dialisador. A taxa na qual a ureia é removida do sangue, em mg/min, em geral, é bem descrita pela equação:
u(t)=\frac{r}{V} C_{0} e^{-r t / V}
onde, r é a taxa de escoamento do sangue pelo dialisador, em \mathrm{mL} / \mathrm{min}, V é o volume do sangue do paciente, em m L e C_{0} é a quantidade de ureia no sangue, em m g, no instante t=0.
Considerando \frac{r}{V}=1 e t=\ln 2, calcule \int_{0}^{t} u(t) d t. Interprete o resultado.

Passo 1

O enunciado fornece a taxa de remoção de ureia do sangue
u(t)=\frac{r}{V}C_{0}e^{-r t / V},
e pede que se calcule \displaystyle\int_{0}^{t}u(t)\,dt quando \dfrac{r}{V}=1 e t=\ln 2, além de interpretar o resultado.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão da taxa é \displaystyle u(t)=\frac{r}{V}C_{0}e^{-r t / V}, onde as unidades de u(t) são \text{mg/min}.
  • Dado numérico: \dfrac{r}{V}=1.
  • Limite superior do tempo: t=\ln 2.
  • C_{0} é a quantidade inicial de ureia no sangue, em \text{mg}.
  • O que se pede: (i) calcular \displaystyle\int_{0}^{t}u(t)\,dt com os dados acima; (ii) interpretar fisicamente o valor obtido.

Passo 2

Primeiro simplificamos a função taxa usando \dfrac{r}{V}=1. Substituindo na fórmula temos
u(t)=C_{0}e^{-t}.
Aqui troquei a variável de integração mais adiante para não confundir o limite superior que também se chama t.

Passo 3

Entendendo o que a integral representa: quando u(t) é uma taxa de remoção (em \text{mg/min}), a integral
\int_{0}^{T} u(s)\,ds
é a quantidade total de ureia (em mg) removida do tempo 0 até o tempo T. Note que usei uma variável dummy s dentro da integral para evitar ambiguidade com o limite superior.

Passo 4

Agora escrevemos a integral específica que precisamos calcular (com T=t=\ln 2):
\int_{0}^{\ln 2} u(s)\,ds=\int_{0}^{\ln 2} C_{0} e^{-s}\,ds.
Fatorando C_{0} (constante em relação a s) obtemos
\int_{0}^{\ln 2} C_{0} e^{-s}\,ds = C_{0}\int_{0}^{\ln 2} e^{-s}\,ds.
Recordando a primitiva: a derivada de e^{-s} é -e^{-s}, portanto uma antiderivada de e^{-s} é -e^{-s}. Assim,
\int e^{-s}\,ds = -e^{-s} + \text{constante}.

Passo 5

Aplicando a antiderivada nos limites 0 e \ln 2:
C_{0}\int_{0}^{\ln 2} e^{-s}\,ds = C_{0}\Big[-e^{-s}\Big]_{0}^{\ln 2} = C_{0}\big(-e^{-\ln 2} -(-e^{0})\big).
Agora calculamos as exponenciais: e^{-\ln 2}=e^{\ln(2^{-1})}=2^{-1}=\tfrac{1}{2} e e^{0}=1. Substituindo:
C_{0}\big(-\tfrac{1}{2} + 1\big)=C_{0}\big(\tfrac{1}{2}\big)=\frac{C_{0}}{2}.

Passo 6

Interpretação física do resultado: \displaystyle\int_{0}^{\ln 2}u(s)\,ds=\dfrac{C_{0}}{2} significa que, no intervalo de tempo de 0 até t=\ln 2 minutos, foi removida do sangue uma quantidade total de ureia igual à metade da quantidade inicial C_{0}. Em outras palavras, com \dfrac{r}{V}=1 a constante de decaimento é 1 e o tempo t=\ln 2 é o “meio-vida” da remoção — após esse tempo resta também \dfrac{C_{0}}{2} mg no sangue.

Resposta

\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} u(t)\,dt = \frac{C_{0}}{2}\\ \text{mg}
Foi removida metade da ureia inicial; resta \dfrac{C_{0}}{2} mg no sangue.

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