Questão 03: (2,0) Equação da onda

Mostre que a onda eletromagnética
E=E0 cos (k y-omega t+phi) z
é solução da equação da onda
nabla^2 E=mu0 epsilon0 partial^2 Epartial t^2
onde k=omegac e c=1raizmu0 epsilon0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a onda eletromagnética
E=E0cos(ky-omega t+phi),z
é solução da equação da onda em vazio
nabla^2E=mu0epsilon0partial^2Epartial t^2,
sabendo que k=omega/c e c=1/raizmu0epsilon0.
Vamos calcular separadamente nabla^2E e partial^2E/partial t^2 e depois comparar.

Passo 2

Como E depende apenas de y e t,
nabla^2E=partial^2Ezpartial y^2,z
Calculando a derivada em y:
partial^2partial y^2l[E0cos(ky-omega t+phi)r] =-k^2E0cos(ky-omega t+phi)
Logo
boxednabla^2E=-k^2,E0cos(ky-omega t+phi),z=-k^2,E

Passo 3

Agora calculamos a derivada segunda em t:
partial^2partial t^2l[E0cos(ky-omega t+phi)r] =-omega^2E0cos(ky-omega t+phi)
Portanto
boxedpartial^2Epartial t^2=-omega^2,E

Passo 4

Substituindo em cada lado da equação da onda, temos
nabla^2E=-k^2,E, mu0epsilon0,partial^2Epartial t^2 =-mu0epsilon0,omega^2,E
Como mu0epsilon0=1/c^2 e k=omega/c, segue
mu0epsilon0,omega^2=omega^2c^2=k^2,
então
-k^2,E=-mu0epsilon0,omega^2,E ;Longrightarrow; nabla^2E=mu0epsilon0partial^2Epartial t^2

Resposta

A onda E=E0cos(ky-omega t+phi),z satisfaz
nabla^2E=mu0epsilon0,partial^2E/partial t^2,
logo é solução da equação da onda.

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