Seja S a porção do paraboloide z=12(x^2+y^2) cortada pelo plano z=2 e compreendida abaixo deste plano, se seja n o vetor unitário normal a S que faz um ângulo agudo com o eixo z positivo. Se C é a curva limitada de S e F é o campo vetorial F(x, y, z)=3 y i-x z j+y z^2 k, verifique o teorema de Stokes para F e S.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície S definida pelo paraboloide
z = tfrac12(x^2 + y^2)
cortada pelo plano z=2 (logo x^2+y^2<=4), com a normal unitária escolhida para fazer ângulo agudo com o eixo z positivo. A curva limite C é a interseção x^2+y^2=4 em z=2, orientada positivamente (sentido anti-horário visto de cima). Queremos verificar o Teorema de Stokes
integral duplaS (nablatimes F)cdot n,dS ;=;ointC Fcdot d r
para F(x,y,z) = 3y, i - xz, j + yz^2, k.

Passo 2

Calculemos nablatimes F.
nablatimes F = i & j & k partialx & partialy & partialz 3y & -xz & yz^2 =l(z^2 + xr), i ;+;0, j ;+;(-z - 3), k

Passo 3

Para a integral de superfície usamos a parametrização gráfica no plano xy, com o elemento vetorial
d S = (-zx,-zy,1),dA = (-x,-y,1),dA, dA = dx,dy
Como z=tfrac12(x^2+y^2), temos
(nablatimes F)cdot d S =l(z^2+xr)(-x)+(-z-3)cdot1 =-x^2 - xz^2 - z - 3
Em coordenadas polares (x=rcostheta,y=rsintheta,z=tfracr^22), rin[0,2], thetain[0,2pi], e dA = r,dr,dtheta. O integrando fica
-,r^2cos^2theta ;-;tfracr^5costheta4 ;-;tfracr^22 ;-;3
multiplicado por r. Integrando em theta e r, o termo com costheta some, e
integral duplaS(nablatimes F)cdot n,dS =-20pi

Passo 4

Agora calculamos a integral de linha em C:;x=2cos t,;y=2sin t,;z=2,;tin[0,2pi].
F|C =(3y,,-xz,,yz^2) =(6sin t,,-4cos t,,8sin t), d r =(-2sin t,,2cos t,,0),dt
Logo
Fcdot d r =-12sin^2t;-;8cos^2t =-12+4cos^2t
Integrando de 0 a 2pi:
ointC Fcdot d r =integral0^2pi(-12+4cos^2t),dt =-20pi
Note que o sinal coincide com o da integral de superfície.

Resposta

Como ambas as integrais dão -20pi, o Teorema de Stokes está verificado. ,-20pi

Exercícios relacionados