Seja S a porção do paraboloide cortada pelo plano e compreendida abaixo deste plano, se seja o vetor unitário normal a que faz um ângulo agudo com o eixo z positivo. Se C é a curva limitada de S e é o campo vetorial , verifique o teorema de Stokes para e S.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície definida pelo paraboloide
cortada pelo plano (logo ), com a normal unitária escolhida para fazer ângulo agudo com o eixo positivo. A curva limite é a interseção em , orientada positivamente (sentido anti-horário visto de cima). Queremos verificar o Teorema de Stokes
para .
Passo 2
Calculemos .
Passo 3
Para a integral de superfície usamos a parametrização gráfica no plano xy, com o elemento vetorial
d S = (-zx,-zy,1),dA = (-x,-y,1),dA, dA = dx,dy
Como z=tfrac12(x^2+y^2), temos
(nablatimes F)cdot d S =l(z^2+xr)(-x)+(-z-3)cdot1 =-x^2 - xz^2 - z - 3
Em coordenadas polares (x=rcostheta,y=rsintheta,z=tfracr^22), rin[0,2], thetain[0,2pi], e dA = r,dr,dtheta. O integrando fica