Questão 03 (Prof. Matheus Pinheiro) -
Um foguete, cuja massa de repouso é
, encontra-se inicialmente parado no referencial do laboratório S . O foguete então começa a converter massa em fótons e os ejeta pela parte de trás. Quando a massa de repouso do foguete é
(com
), sua velocidade se torna v. Do exposto, é correto afirmar que a razão M/m será:
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(e)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado trata de um foguete que converte parte de sua massa de repouso em fótons e os ejeta para trás. Inicialmente o foguete tem massa de repouso
e está em repouso no referencial do laboratório. Depois de ejetar massa, sua massa de repouso cai para
e sua velocidade atinge
. Queremos encontrar a relação entre
e
em função de
. Para isso vamos usar conservação relativística de energia e de momento, aplicadas a um elemento infinitesimal de massa e energia emitida como fóton.
Passo 2
Considere que o foguete, em certo instante, perde um pequeno
de massa de repouso convertida em fótons. Pelo princípio da conservação do momento linear, a variação do momento do foguete
mais o momento dos fótons deve ser zero. Como o fóton carrega momento
(positiva na direção em que o foguete se move) temos
Além disso, pela conservação de energia, a energia perdida em massa de repouso
aparece como energia cinética relativística do foguete, de modo que
onde
.
Passo 3
Da conservação de energia vem
Da conservação de momento, escrevendo
, obtemos
Desenvolvendo
e usando
(retirado de
), chega-se ao diferencial
Agora fazemos a mudança de variável
. Então
e
, e o diferencial fica
Passo 4
Integramos de
quando
até
e
:
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Resposta
(e)