Questão 03 (Prof. Matheus Pinheiro) -

Um foguete, cuja massa de repouso é M, encontra-se inicialmente parado no referencial do laboratório S . O foguete então começa a converter massa em fótons e os ejeta pela parte de trás. Quando a massa de repouso do foguete é m (com m<M ), sua velocidade se torna v. Do exposto, é correto afirmar que a razão M/m será:
(a) \sqrt{\frac{c-v}{c+v}}.
(b) \sqrt{\frac{c}{v}}.
(c) \sqrt{\frac{v}{c}}.
(d) \sqrt{\frac{c}{c-v}}.
(e) \sqrt{\frac{c+v}{c-v}}.

Passo 1

O enunciado trata de um foguete que converte parte de sua massa de repouso em fótons e os ejeta para trás. Inicialmente o foguete tem massa de repouso M e está em repouso no referencial do laboratório. Depois de ejetar massa, sua massa de repouso cai para m e sua velocidade atinge v. Queremos encontrar a relação entre M e m em função de v. Para isso vamos usar conservação relativística de energia e de momento, aplicadas a um elemento infinitesimal de massa e energia emitida como fóton.

Passo 2

Considere que o foguete, em certo instante, perde um pequeno dm<0 de massa de repouso convertida em fótons. Pelo princípio da conservação do momento linear, a variação do momento do foguete dp mais o momento dos fótons deve ser zero. Como o fóton carrega momento \frac{dE}{c}=-\frac{c^2\,dm}{c}=-c\,dm (positiva na direção em que o foguete se move) temos
dp - c\,dm = 0.
Além disso, pela conservação de energia, a energia perdida em massa de repouso c^2\,dm aparece como energia cinética relativística do foguete, de modo que
d\bigl(\gamma m c^2\bigr) + c^2\,dm = 0,
onde \gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}.

Passo 3

Da conservação de energia vem
d(\gamma m) + dm =0 \;\;\Longrightarrow\;\; d(\gamma m) = -dm.
Da conservação de momento, escrevendo p=\gamma m v, obtemos
d(\gamma m v) = c\,dm.
Desenvolvendo d(\gamma m v)=m\,d(\gamma v)+\gamma v\,dm e usando d\gamma=(1-\gamma)\,\frac{dm}{m} (retirado de d(\gamma m)=-dm), chega-se ao diferencial
\frac{dm}{m} \;=\;\frac{\gamma\,dv}{c-v}.
Agora fazemos a mudança de variável \beta=v/c. Então dv=c\,d\beta e \gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}, e o diferencial fica
\frac{dm}{m} \;=\;\frac{d\beta}{(1-\beta)\sqrt{1-\beta^2}}.

Passo 4

Integramos de m=M quando \beta=0 até m e \beta=v/c:
\int_{M}^{m}\frac{dm'}{m'} =\int_{0}^{v/c}\frac{d\beta}{(1-\beta)\sqrt{1-\beta^2}} \;\Longrightarrow\; \ln\!\bigl(\tfrac{m}{M}\bigr) =-\tfrac12\ln\!\Bigl(\frac{1+\beta}{1-\beta}\Bigr).
Logo
\frac{M}{m} =\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}} =\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}.

Resposta

(e) \displaystyle \sqrt{\frac{c+v}{c-v}}

Exercícios relacionados