Questão 03 (Transformada de Fourier): Considere o sistema LIT com resposta em frequência abaixo,
Determine a resposta ao impulso
do sistema.
Passo 1
O enunciado nos dá a resposta em frequência
e pede para determinar a resposta ao impulso
do sistema.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função
é a transformada de Fourier da resposta ao impulso . - Queremos a função
no domínio do tempo (impulse response).
Passo 2
Primeiro simplificar o denominador fatorando-o. Considere o polinômio em
:
As raízes são encontradas resolvendo a equação quadrática. Fatorando:
Substituindo
obtemos
Logo podemos reescrever
Passo 3
Vamos decompor
em frações parciais do tipo
. Ou seja, impomos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade em
:
Agrupando termos em
e constantes:
Igualando coeficientes do termo
e do termo constante obtemos o sistema linear:
Passo 4
Resolva o sistema para
e
. Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
Então
. Portanto a decomposição é
Passo 5
Agora precisamos aplicar a transformada inversa de Fourier a cada termo. Lembrete importante (fórmula-janela didática):
- A transformada de Fourier da função causal
(onde é a função degrau unitário e ) é
Aqui trocamos parâmetro para reconhecer termos do tipo
: se
com
, então
Aplicando isso aos termos da decomposição:
- O termo
corresponde no tempo a (porque ). - O termo
corresponde no tempo a (porque ).
Passo 6
Como
foi escrita como soma das duas frações cujas correspondentes no tempo são exponenciais multiplicadas por
, a resposta ao impulso
é a soma das duas componentes temporais (a soma será apresentada na seção de resposta). Observações físicas e de validade:
- As raízes (polos) estão em
e , ambos com parte real negativa, então as exponenciais decaem para : o sistema é causal e estável (BIBO estável). - A condição
para cada termo garante convergência da transformada de Fourier e justificativa do uso direto da tabela de pares transformada.
Passo 7
Resumo do procedimento (para você lembrar na prova):
- Fatorar o denominador em
. - Fazer frações parciais para escrever
como soma de termos do tipo . - Usar o par transformada-inversa
(para ). - Somar as componentes para obter
. Vai dar rapidinho se souber fatorar e resolver um sistema 2×2.