Questão 03 (Transformada de Fourier): Considere o sistema LIT com resposta em frequência abaixo,
H(j \omega)=\frac{j \omega+8}{(j \omega)^{2}+7 j \omega+10}
Determine a resposta ao impulso h(t) do sistema.

Passo 1

O enunciado nos dá a resposta em frequência
H(j\omega)=\frac{j\omega+8}{(j\omega)^{2}+7j\omega+10},
e pede para determinar a resposta ao impulso h(t) do sistema.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função H(j\omega) é a transformada de Fourier da resposta ao impulso h(t).
  • Queremos a função h(t) no domínio do tempo (impulse response).

Passo 2

Primeiro simplificar o denominador fatorando-o. Considere o polinômio em s=j\omega:
s^{2}+7s+10 = 0.
As raízes são encontradas resolvendo a equação quadrática. Fatorando:
s^{2}+7s+10=(s+5)(s+2).
Substituindo s=j\omega obtemos
(j\omega)^{2}+7j\omega+10=(j\omega+5)(j\omega+2).
Logo podemos reescrever
H(j\omega)=\frac{j\omega+8}{(j\omega+5)(j\omega+2)}.

Passo 3

Vamos decompor H(j\omega) em frações parciais do tipo \dfrac{A}{j\omega+5}+\dfrac{B}{j\omega+2}. Ou seja, impomos
\frac{j\omega+8}{(j\omega+5)(j\omega+2)}=\frac{A}{j\omega+5}+\frac{B}{j\omega+2}.
Multiplicando ambos os lados por (j\omega+5)(j\omega+2) obtemos a identidade em j\omega:
j\omega+8 = A(j\omega+2)+B(j\omega+5).
Agrupando termos em j\omega e constantes:
j\omega+8 = (A+B)\,j\omega + (2A+5B).
Igualando coeficientes do termo j\omega e do termo constante obtemos o sistema linear:
\begin{cases} A + B = 1,\\[4pt] 2A + 5B = 8. \end{cases}]

Passo 4

Resolva o sistema para A e B. Da primeira equação A=1-B. Substituindo na segunda:
2(1-B)+5B=8 \quad\Rightarrow\quad 2-2B+5B=8 \quad\Rightarrow\quad 3B=6 \quad\Rightarrow\quad B=2.
Então A=1-B=1-2=-1. Portanto a decomposição é
H(j\omega)=\frac{-1}{j\omega+5}+\frac{2}{j\omega+2}.

Passo 5

Agora precisamos aplicar a transformada inversa de Fourier a cada termo. Lembrete importante (fórmula-janela didática):
  • A transformada de Fourier da função causal e^{a t}u(t) (onde u(t) é a função degrau unitário e \operatorname{Re}(a)<0) é
\mathcal{F}\{e^{a t}u(t)\}=\frac{1}{j\omega - a}.
Aqui trocamos parâmetro para reconhecer termos do tipo \dfrac{1}{j\omega +\alpha}: se a=-\alpha com \operatorname{Re}(\alpha)>0, então
\mathcal{F}\{e^{-\alpha t}u(t)\}=\frac{1}{j\omega+\alpha}.
Aplicando isso aos termos da decomposição:
  • O termo \dfrac{-1}{j\omega+5} corresponde no tempo a -e^{-5t}u(t) (porque \alpha=5).
  • O termo \dfrac{2}{j\omega+2} corresponde no tempo a 2e^{-2t}u(t) (porque \alpha=2).

Passo 6

Como H(j\omega) foi escrita como soma das duas frações cujas correspondentes no tempo são exponenciais multiplicadas por u(t), a resposta ao impulso h(t) é a soma das duas componentes temporais (a soma será apresentada na seção de resposta). Observações físicas e de validade:
  • As raízes (polos) estão em s=-5 e s=-2, ambos com parte real negativa, então as exponenciais decaem para t\to\infty: o sistema é causal e estável (BIBO estável).
  • A condição \operatorname{Re}(a)<0 para cada termo garante convergência da transformada de Fourier e justificativa do uso direto da tabela de pares transformada.

Passo 7

Resumo do procedimento (para você lembrar na prova):
  1. Fatorar o denominador em (j\omega+5)(j\omega+2).
  2. Fazer frações parciais para escrever H(j\omega) como soma de termos do tipo \dfrac{C}{j\omega+\alpha}.
  3. Usar o par transformada-inversa \dfrac{1}{j\omega+\alpha}\leftrightarrow e^{-\alpha t}u(t) (para \alpha>0).
  4. Somar as componentes para obter h(t). Vai dar rapidinho se souber fatorar e resolver um sistema 2×2.

Resposta

h(t) = -e^{-5t}u(t) + 2e^{-2t}u(t)

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