Questão 03:A tensão máxima e mínima aplicada em um corpo de rocha homogênea mede 1,5 kba e 0,8 \mathrm{kba} ,respectivamente.Quais as tensões normais e cisalhantes nos planos descritos a seguir(plano de 1 a 5),paralelos ao eixo intermediário de tensão e cuja tensão normal e
\sigma 1 são inclinadas em:
(ii) 45^{\circ}

Passo 1

O enunciado diz que num corpo de rocha homogênea temos duas tensões principais: a máxima \sigma_1 = 1,5\,\text{kba} e a mínima \sigma_3 = 0,8\,\text{kba}. Queremos achar a tensão normal \sigma_n e a tensão de cisalhamento \tau num plano que é paralelo ao eixo intermediário de tensão \sigma_2 e forma um ângulo de 45^\circ entre a direção de \sigma_1 e a normal ao plano. O conteúdo aqui é o círculo de Mohr para estado plano de tensão.

Passo 2

No círculo de Mohr, o centro C fica em
C = \Bigl(\tfrac{\sigma_1 + \sigma_3}{2},\,0\Bigr)
e o raio R em
R = \tfrac{\sigma_1 - \sigma_3}{2}.
Um plano que faz ângulo \theta com a direção de \sigma_1 corresponde, no círculo de Mohr, a um ponto obtido girando do ponto (\sigma_1,0) um ângulo 2\theta. As fórmulas gerais são:
\sigma_n = C + R\cos(2\theta),
\tau = R\sin(2\theta).

Passo 3

Vamos calcular C e R. Como \sigma_1 = 1,5 e \sigma_3 = 0,8,
C = \frac{1,5 + 0,8}{2} = 1,15\,\text{kba},
R = \frac{1,5 - 0,8}{2} = 0,35\,\text{kba}.

Passo 4

No caso de \theta = 45^\circ, temos 2\theta = 90^\circ, logo \cos(90^\circ) = 0 e \sin(90^\circ) = 1. Substituindo nas fórmulas:
\sigma_n = 1,15 + 0,35\cdot 0 = 1,15\,\text{kba},
\tau = 0,35\cdot 1 = 0,35\,\text{kba}.

Resposta

\sigma_n = 1,15\,\text{kba} \tau = 0,35\,\text{kba}

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