Use o Método de Newton-Raphson e Método das Secantes para calcular a raiz positiva de cada equação abaixo com erro menor igual a 10^{-2} (Obs.: depois de fazer os cálculos de cada iteração de cada método para cada equação abaixo, faça uma tabela (modelo abaixo) com o resultado de cada iteração dos dois métodos):
f(x)=e^{-x^{2}}-\cos x

Passo 1

O enunciado pede para aplicar os métodos de Newton–Raphson e das Secantes na equação
f(x)=e^{-x^{2}}-\cos x
para encontrar a raiz positiva com erro menor ou igual a 10^{-2}. Vamos precisar de f'(x) para o método de Newton e do critério de parada
|x_{k}-x_{k-1}|\le10^{-2}.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x^{2}}\bigr)-\frac{d}{dx}(\cos x) =-2x\,e^{-x^{2}}+\sin x.

Passo 3

Newton–Raphson
Iteração k+1:
x_{k+1}=x_{k}-\frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}.
Escolhemos x_{0}=1{,}5 e iteramos até |x_{k+1}-x_{k}|\le10^{-2}:

Passo 4

Método das Secantes
Iteração k+1:
x_{k+1} =x_{k} -\;f(x_{k})\,\frac{x_{k}-x_{k-1}}{f(x_{k})-f(x_{k-1})}.
Tomamos x_{0}=1{,}0, x_{1}=1{,}5 e iteramos até |x_{k+1}-x_{k}|\le10^{-2}.

Passo 5

Tabela com todos os x_{k} e os incrementos |x_{k}-x_{k-1}|:
k x_{k}^{\text{NR}} (\bigl x_{k}{\text{NR}}-x_{k-1}{NR}\bigr ) x_{k}^{\text{S}} (\bigl x_{k}{\text{S}}-x_{k-1}{S}\bigr )
0 1{,}5 1{,}0
1 1{,}4490 0{,}0510 1{,}5 0{,}5000
2 1{,}44899 0{,}00001 1{,}4162 0{,}0838
3 1{,}4476 0{,}0314
4 1{,}4446 0{,}0030

Resposta

A raiz positiva aproximada é
– pelo método de Newton–Raphson: x\approx1{,}44899,
– pelo método das Secantes: x\approx1{,}4446,
ambos com erro inferior a 10^{-2}.

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