QUESTÃO 04- Calcule
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral imprópria
Informações dadas e observações importantes:
a função integrada é
, que é contínua para todo
e o limite superior é infinito (por isso é uma integral imprópria). A tarefa é avaliar esse valor numérico.
Passo 2
Transformar a integral imprópria em um limite (definição):
Explicação curta: para integrais sobre
avaliamos a integral até um ponto
finito e, depois, tomamos o limite quando
. Se esse limite existir e for finito, a integral imprópria converge para esse valor.
Passo 3
Apresentar a ferramenta que vamos usar: integração por partes.
Fórmula (útil e muito usada):
Fórmula (útil e muito usada):
Aqui
e
são escolhas que fazemos para simplificar a integral;
é a derivada de
vezes
e
é uma primitiva de
. Vou escolher
e
de modo a reduzir a oscilação trigonométrica.
Passo 4
Aplicar integração por partes na integral indefinida
(vamos tratar a integral definida depois usando o resultado).
Escolha 1:
Escolha 1:
Então
Aplicando a fórmula,
Denotando
temos
Passo 5
Calcular
por integração por partes novamente.
Escolha 2:
Escolha 2:
Então
Aplicando a fórmula,
Ou seja,
Passo 6
Substituir
em
:
Fazendo as contas:
Somando
aos dois lados:
Logo a primitiva geral é
Observação:
aqui é uma primitiva de
. Vamos usar essa expressão para avaliar a integral definida de
até
.
Passo 7
Avaliar a integral definida até
usando a primitiva:
Calcular as contribuições:
- Para o limite superior
: . - Para o limite inferior
:
Então
Passo 8
Tomar o limite quando
. O termo
tende a
porque
e
; então o produto tende a
. Portanto
Comentário curto e motivador: a parte oscilatória não impede a convergência porque o fator
decai exponencialmente, “apagando” as oscilações.