QUESTÃO 04- Calcule
\int_{0}^{\infty} \operatorname{sen}(t) e^{-t} d t

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} \sin(t)\,e^{-t}\,dt.
Informações dadas e observações importantes:
\text{domínio da integração: }[0,\infty),íçã
a função integrada é \sin(t)\,e^{-t}, que é contínua para todo t\ge0 e o limite superior é infinito (por isso é uma integral imprópria). A tarefa é avaliar esse valor numérico.

Passo 2

Transformar a integral imprópria em um limite (definição):
I=\int_{0}^{\infty} \sin(t)\,e^{-t}\,dt =\lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R}\sin(t)\,e^{-t}\,dt.
Explicação curta: para integrais sobre [0,\infty) avaliamos a integral até um ponto R finito e, depois, tomamos o limite quando R\to\infty. Se esse limite existir e for finito, a integral imprópria converge para esse valor.

Passo 3

Apresentar a ferramenta que vamos usar: integração por partes.
Fórmula (útil e muito usada):
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u e dv são escolhas que fazemos para simplificar a integral; du é a derivada de u vezes dt e v é uma primitiva de dv. Vou escolher u e dv de modo a reduzir a oscilação trigonométrica.

Passo 4

Aplicar integração por partes na integral indefinida \int e^{-t}\sin t\,dt (vamos tratar a integral definida depois usando o resultado).
Escolha 1:
u=\sin t,\qquad dv=e^{-t}\,dt.
Então
du=\cos t\,dt,\qquad v=\int e^{-t}\,dt=-e^{-t}.
Aplicando a fórmula,
\int e^{-t}\sin t\,dt = u v - \int v\,du = -e^{-t}\sin t - \int (-e^{-t})\cos t\,dt = -e^{-t}\sin t + \int e^{-t}\cos t\,dt.
Denotando
I(t)=\int e^{-t}\sin t\,dt, \qquad J(t)=\int e^{-t}\cos t\,dt,
temos
I(t) = -e^{-t}\sin t + J(t).

Passo 5

Calcular J(t)=\int e^{-t}\cos t\,dt por integração por partes novamente.
Escolha 2:
u=\cos t,\qquad dv=e^{-t}\,dt.
Então
du=-\sin t\,dt,\qquad v=-e^{-t}.
Aplicando a fórmula,
J(t)=u v - \int v\,du = -e^{-t}\cos t - \int (-e^{-t})(- \sin t)\,dt = -e^{-t}\cos t - \int e^{-t}\sin t\,dt.
Ou seja,
J(t)= -e^{-t}\cos t - I(t).

Passo 6

Substituir J(t) em I(t)= -e^{-t}\sin t + J(t):
I(t)= -e^{-t}\sin t + \big( -e^{-t}\cos t - I(t)\big).
Fazendo as contas:
I(t)= -e^{-t}(\sin t + \cos t) - I(t).
Somando I(t) aos dois lados:
2I(t)= -e^{-t}(\sin t + \cos t).
Logo a primitiva geral é
I(t)= -\tfrac{1}{2} e^{-t}(\sin t + \cos t) + C.
Observação: I(t) aqui é uma primitiva de \sin t\,e^{-t}. Vamos usar essa expressão para avaliar a integral definida de 0 até R.

Passo 7

Avaliar a integral definida até R usando a primitiva:
\int_{0}^{R}\sin t\,e^{-t}\,dt = \Big[ -\tfrac{1}{2} e^{-t}(\sin t + \cos t)\Big]_{0}^{R}.
Calcular as contribuições:
  • Para o limite superior t=R: -\tfrac{1}{2} e^{-R}(\sin R + \cos R).
  • Para o limite inferior t=0: -\tfrac{1}{2} e^{0}(\sin 0 + \cos 0)= -\tfrac{1}{2}\cdot 1\cdot(0+1) = -\tfrac{1}{2}.
Então
\int_{0}^{R}\sin t\,e^{-t}\,dt = -\tfrac{1}{2} e^{-R}(\sin R + \cos R) - \big( -\tfrac{1}{2}\big) = -\tfrac{1}{2} e^{-R}(\sin R + \cos R) + \tfrac{1}{2}.

Passo 8

Tomar o limite quando R\to\infty. O termo e^{-R}(\sin R + \cos R) tende a 0 porque |\sin R + \cos R|\le 2 e e^{-R}\to0; então o produto tende a 0. Portanto
I=\lim_{R\to\infty}\int_{0}^{R}\sin t\,e^{-t}\,dt = 0 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}.
Comentário curto e motivador: a parte oscilatória não impede a convergência porque o fator e^{-t} decai exponencialmente, “apagando” as oscilações.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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