QUESTÃO 03- Calcule
\mathcal{L}\left\{t e^{a t} \cos (b t)\right\}, a, b \in R

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função \,t e^{a t}\cos(bt)\,, onde a,b\in\mathbb{R}.
Informações dadas:
\;t é a variável temporal (tempo) que vai de 0 a +\infty.
\;a e \;b são constantes reais.
O que precisa ser entregue: uma expressão em termos de s para \mathcal{L}\{t e^{a t}\cos(bt)\} e a região de convergência em s (quando aplicável).

Passo 2

Definição básica (para relembrar): a transformada de Laplace de uma função \,f(t)\, é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt,
onde \;s é uma variável complexa cujo valor real deve ser suficientemente grande para que a integral convirja. Aqui vamos aplicar essa definição indiretamente usando propriedades que simplificam muito o cálculo.

Passo 3

Propriedade 1 (multiplicação por t): para uma função \,f(t)\, com transformada F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}(s), vale
\mathcal{L}\{t f(t)\}(s) = -\frac{d}{ds}F(s).
Breve justificativa: escrever \mathcal{L}\{t f(t)\}=\int_{0}^{\infty} t f(t)e^{-st}dt e notar que essa expressão é -\dfrac{d}{ds}\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}dt (diferenciando sob o sinal de integral), o que dá -F'(s). Esta propriedade é muito útil porque transformar um fator t vira derivada no domínio s.

Passo 4

Propriedade 2 (multiplicação por exponencial): para \,f(t)\, e qualquer constante real a,
\mathcal{L}\{e^{a t}f(t)\}(s)=F(s-a),
onde F é a transformada de \,f(t). Justificativa curta: observe \int_{0}^{\infty} e^{a t}f(t)e^{-st}dt=\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-(s-a)t}dt. Em termos de região de convergência, essa substituição desloca verticalmente a condição em s; por exemplo, se F(s) exige \Re(s)>s_0, então F(s-a) exige \Re(s-a)>s_0, ou seja \Re(s)>s_0+a.

Passo 5

Aplicação inicial: considere \,f(t)=\cos(bt)\,. É um resultado padrão (pode ser verificado pela definição ou usando exponenciais complexas) que
\mathcal{L}\{\cos(bt)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+b^{2}},
válido para \Re(s)>0. Aqui s é a variável da transformada e b é a constante do cosseno.

Passo 6

Agora use a Propriedade 2 com a: a transformada de \,e^{a t}\cos(bt)\, é o deslocamento em s da expressão anterior:
\mathcal{L}\{e^{a t}\cos(bt)\}(s)=\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}.
A região de convergência passa a ser \Re(s)>a (porque originalmente precisava de \Re(s)>0, e com o deslocamento fica \Re(s-a)>0).

Passo 7

Agora aplique a Propriedade 1: como queremos \mathcal{L}\{t e^{a t}\cos(bt)\}, basta derivar a expressão do passo anterior e multiplicar por -1:
\mathcal{L}\{t e^{a t}\cos(bt)\}(s) = -\frac{d}{ds}\left(\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}\right).
Para facilitar a derivação, faça a substituição \;u=s-a. Assim a função a derivar fica \dfrac{u}{u^{2}+b^{2}} e como du/ds=1 temos
\frac{d}{ds}\left(\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}\right)=\frac{d}{du}\left(\frac{u}{u^{2}+b^{2}}\right).

Passo 8

Calcule a derivada passo a passo. Seja
G(u)=\frac{u}{u^{2}+b^{2}}.
Usamos a regra do quociente:
G'(u)=\frac{(1)\cdot(u^{2}+b^{2}) - u\cdot(2u)}{(u^{2}+b^{2})^{2}} = \frac{u^{2}+b^{2}-2u^{2}}{(u^{2}+b^{2})^{2}} = \frac{b^{2}-u^{2}}{(u^{2}+b^{2})^{2}}.
Portanto
\frac{d}{ds}\left(\frac{s-a}{(s-a)^{2}+b^{2}}\right)=\frac{b^{2}-(s-a)^{2}}{\big((s-a)^{2}+b^{2}\big)^{2}}.

Passo 9

Lembrando do fator -1 da Propriedade 1, obtemos
\mathcal{L}\{t e^{a t}\cos(bt)\}(s) = -\frac{b^{2}-(s-a)^{2}}{\big((s-a)^{2}+b^{2}\big)^{2}} = \frac{(s-a)^{2}-b^{2}}{\big((s-a)^{2}+b^{2}\big)^{2}}.
A região de convergência é \Re(s)>a.

Passo 10

Comentário final rápido (motivacional): deu trabalho, mas a ideia central que você precisa decorar para a prova é: multiplicar por e^{at} desloca s para s-a e multiplicar por t vira derivada negativa em s. Com essas duas manobras você resolve muitos exercícios parecidos rapidinho. Força — você vai lembrar disso na prova!

Resposta

\mathcal{L}\{t e^{a t}\cos(bt)\}(s)=\frac{(s-a)^{2}-b^{2}}{\big((s-a)^{2}+b^{2}\big)^{2}},\quad \Re(s)>a

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