QUESTÃO 03- Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
, onde
.
Informações dadas:
é a variável temporal (tempo) que vai de
a
.
e
são constantes reais.
O que precisa ser entregue: uma expressão em termos de para
e a região de convergência em
(quando aplicável).
Informações dadas:
O que precisa ser entregue: uma expressão em termos de
Passo 2
Definição básica (para relembrar): a transformada de Laplace de uma função
é
onde
é uma variável complexa cujo valor real deve ser suficientemente grande para que a integral convirja. Aqui vamos aplicar essa definição indiretamente usando propriedades que simplificam muito o cálculo.
Passo 3
Propriedade 1 (multiplicação por
): para uma função
com transformada
, vale
Breve justificativa: escrever
e notar que essa expressão é
(diferenciando sob o sinal de integral), o que dá
. Esta propriedade é muito útil porque transformar um fator
vira derivada no domínio
.
Passo 4
Propriedade 2 (multiplicação por exponencial): para
e qualquer constante real
,
onde
é a transformada de
. Justificativa curta: observe
. Em termos de região de convergência, essa substituição desloca verticalmente a condição em
; por exemplo, se
exige
, então
exige
, ou seja
.
Passo 5
Aplicação inicial: considere
. É um resultado padrão (pode ser verificado pela definição ou usando exponenciais complexas) que
válido para
. Aqui
é a variável da transformada e
é a constante do cosseno.
Passo 6
Agora use a Propriedade 2 com
: a transformada de
é o deslocamento em
da expressão anterior:
A região de convergência passa a ser
(porque originalmente precisava de
, e com o deslocamento fica
).
Passo 7
Agora aplique a Propriedade 1: como queremos
, basta derivar a expressão do passo anterior e multiplicar por
:
Para facilitar a derivação, faça a substituição
. Assim a função a derivar fica
e como
temos
Passo 8
Calcule a derivada passo a passo. Seja
Usamos a regra do quociente:
Portanto
Passo 9
Lembrando do fator
da Propriedade 1, obtemos
A região de convergência é
.
Passo 10
Comentário final rápido (motivacional): deu trabalho, mas a ideia central que você precisa decorar para a prova é: multiplicar por
desloca
para
e multiplicar por
vira derivada negativa em
. Com essas duas manobras você resolve muitos exercícios parecidos rapidinho. Força — você vai lembrar disso na prova!