QUESTÃO 04

Fibras de carbono são materiais transversalmente isotrópicos. Descreva as equações que podem ser utilizadas para cálculo de propriedades para um compósito unidirecional polimérico reforçado com fibras de carbono e faça uma estimativa dos valores a serem obtidos. Monte uma matriz de rigidez e uma matriz de flexibilidade para esse material.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  • Descrever as equações que permitem calcular propriedades elásticas de um compósito unidirecional polimérico reforçado com fibras de carbono (fibras alinhadas numa direção).
  • Fazer uma estimativa numérica dos valores dessas propriedades (ou seja, fornecer números plausíveis).
  • Montar a matriz de rigidez ( [C]) e a matriz de flexibilidade/compliance ( [S]) para esse material.
Informações relevantes (não fornecidas no enunciado, então vou adotar valores típicos usados em exercícios e provas; isto é importante para obter estimativas numéricas):
  • Módulo de Young da fibra de carbono: E_f = 230\\ \text{GPa} (valor típico para fibras de carbono convencionais).
  • Poisson da fibra: \nu_f = 0{,}20.
  • Módulo de Young da matriz polimérica (epóxi): E_m = 3{,}5\\ \text{GPa}.
  • Poisson da matriz: \nu_m = 0{,}35.
  • Fração volumétrica de fibra: V_f = 0{,}60 (valor típico para compósitos bem impregnados).
  • Fração volumétrica de matriz: V_m = 1 - V_f = 0{,}40.
O que vou entregar no final: fórmulas usadas, justificativa do método escolhido, cálculos passo a passo das propriedades efetivas E_1,E_2,G_{12},G_{23},\nu_{12},\nu_{23}, a matriz de flexibilidade [S] e a matriz de rigidez [C]=[S]^{-1} (todas em GPa ou GPa^{-1} conforme apropriado).

Passo 2

Escolha do método (por que uso as fórmulas que vou aplicar)
  • Para materiais unidirecionais com fibras alinhadas, as estimativas básicas da mecânica dos compósitos usam os modelos elementares: regra das misturas (paralela) para a direção das fibras (longitudinal) e regra inversa (série/Reuss) ou outras aproximações (Halpin–Tsai) para as propriedades transversais.
  • Como você está estudando para prova e precisa de método simples, robusto e que dá resultado na mão, vou usar:
    • Regra das misturas para E_1 (paralelo).
    • Regra inversa (Reuss) para E_2 (série), que é conservadora e fácil de calcular.
    • Regra das misturas para \nu_{12} (aproximação direta).
    • Estimativa do módulo de cisalhamento G_{12} pela regra inversa (série).
  • Explico cada fórmula antes de aplicá-la.

Passo 3

Regra das misturas (módulo longitudinal) — teoria e fórmula
  • Intuição: na direção das fibras (denotada por direção 1), fibra e matriz deformam praticamente a mesma quantidade (deformação compatível). A carga é aplicada paralela às fibras; as fibras, sendo muito mais rígidas, dominam a resistência.
  • Fórmula (regra das misturas paralela):
E_1 = E_f\,V_f + E_m\,V_m.
Explicando variáveis:
  • E_1 = módulo efetivo do compósito na direção da fibra;
  • E_f = módulo da fibra;
  • E_m = módulo da matriz;
  • V_f, V_m = frações volumétricas da fibra e da matriz.
Agora cálculo numérico direto com os valores assumidos:
E_1 = 230\cdot 0{,}60 + 3{,}5\cdot 0{,}40.
Calcule passo a passo:
230\cdot 0{,}60 = 138{,}0\quad\text{(GPa)},
3{,}5\cdot 0{,}40 = 1{,}4\quad\text{(GPa)},
E_1 = 138{,}0 + 1{,}4 = 139{,}4\\ \text{GPa}.

Passo 4

Regra inversa (série) para o módulo transverse E_2 — teoria e fórmula
  • Intuição: na direção transversal às fibras (direção 2, e por simetria também 3), a carga é repartida de modo que a tensão não é homogênea; a matriz, sendo mais “mole”, controla fortemente a deformação. A regra inversa dá uma estimativa conservadora:
\frac{1}{E_2} = \frac{V_f}{E_f} + \frac{V_m}{E_m}.
Explicando variáveis: E_2 = módulo efetivo na direção transversal.
Cálculo passo a passo:
\frac{V_f}{E_f} = \frac{0{,}60}{230} = 0{,}0026087\\ \text{GPa}^{-1},
\frac{V_m}{E_m} = \frac{0{,}40}{3{,}5} = 0{,}1142857\\ \text{GPa}^{-1},
\frac{1}{E_2} = 0{,}0026087 + 0{,}1142857 = 0{,}1168944\\ \text{GPa}^{-1},
E_2 = \frac{1}{0{,}1168944} \approx 8{,}556\\ \text{GPa}.
Arredondando para apresentação típica:
E_2 \approx 8{,}56\\ \text{GPa}.
Observação didática: usando um modelo mais refinado (por exemplo Halpin–Tsai) obteríamos um E_2 um pouco maior (10–12 GPa dependendo da geometria da fibra), mas a regra inversa é aceitável para estimativas rápidas em provas.

Passo 5

Poisson transversal-longitudinal \nu_{12} e reciprocidade \nu_{21}
  • Uma aproximação simples para \nu_{12} é a mistura linear:
\nu_{12} = \nu_f\,V_f + \nu_m\,V_m.
Cálculo:
\nu_{12} = 0{,}20\cdot 0{,}60 + 0{,}35\cdot 0{,}40 = 0{,}12 + 0{,}14 = 0{,}26.
  • Como a relação \nu_{21} (Poisson do material quando a tensão é em 2 e a contração em 1) é relacionada por consistência energética, vale:
\nu_{21} = \nu_{12}\,\frac{E_2}{E_1}.
Cálculo:
\nu_{21} = 0{,}26\cdot\frac{8{,}556}{139{,}4} \approx 0{,}26\cdot 0{,}06136 \approx 0{,}01595 \approx 0{,}016.

Passo 6

Módulo de cisalhamento G_{12} e G_{23}
  • Aproximação por regra inversa (série), análoga a E_2:
\frac{1}{G_{12}} = \frac{V_f}{G_f} + \frac{V_m}{G_m}.
  • Primeiro, estimar G_f e G_m a partir de E e \nu:
G = \frac{E}{2(1+\nu)}.
Cálculo:
G_f = \frac{230}{2(1+0{,}20)} = \frac{230}{2{,}4} \approx 95{,}833\\ \text{GPa},
G_m = \frac{3{,}5}{2(1+0{,}35)} = \frac{3{,}5}{2{,}7} \approx 1{,}296\\ \text{GPa}.
Agora:
\frac{1}{G_{12}} = \frac{0{,}60}{95{,}833} + \frac{0{,}40}{1{,}296} = 0{,}006263 + 0{,}30864 = 0{,}31490\\ \text{GPa}^{-1},
G_{12} \approx \frac{1}{0{,}31490} \approx 3{,}176\\ \text{GPa}.
  • Para G_{23} (cisalhamento no plano transversal), podemos relacioná-lo com E_2 e \nu_{23} pela fórmula isotrópica local:
G_{23} \approx \frac{E_2}{2(1+\nu_{23})}.
Aqui preciso de \nu_{23}. A escolha prática é assumir que \nu_{23} é próxima ao valor da matriz, pois liga dois eixos transversais dominados pela matriz. Usarei \nu_{23}=0{,}35 (valor da matriz). Assim
G_{23} \approx \frac{8{,}556}{2(1+0{,}35)} = \frac{8{,}556}{2{,}7} \approx 3{,}169\\ \text{GPa}.
Observação: G_{13} (cisalhamento fibra-longitudinal em plano 1-3) costuma ser aproximadamente igual a G_{12} por simetria transversa, então G_{13}\approx G_{12}.

Passo 7

Resumo das propriedades estimadas (números finais antes de montar matrizes)
  • E_1 \approx 139{,}4\\ \text{GPa}.
  • E_2 = E_3 \approx 8{,}56\\ \text{GPa}.
  • \nu_{12} \approx 0{,}26.
  • \nu_{21} \approx 0{,}016.
  • \nu_{23} \approx 0{,}35 (assumido, valor típico de matriz).
  • G_{12} = G_{13} \approx 3{,}176\\ \text{GPa}.
  • G_{23} \approx 3{,}169\\ \text{GPa}.
Dica prática para prova: memorize as formas das fórmulas e quando usar regra das misturas (paralela) vs. série (inversa). Para estimativas rápidas, esses números estão no intervalo típico de compósitos CFRP unidirecionais (muito rígidos longitudinalmente, relativamente moles transversalmente).

Passo 8

Construção da matriz de flexibilidade [S] (Voigt, ordem 1,2,3,4,5,6)
  • Em notação de compliance para material transversamente isotrópico (eixo 1 é direc. das fibras), a matriz [S] tem a forma:
[S] = \begin{pmatrix} S_{11} & S_{12} & S_{12} & 0 & 0 & 0\\[4pt] S_{12} & S_{22} & S_{23} & 0 & 0 & 0\\[4pt] S_{12} & S_{23} & S_{22} & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & S_{44} & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & S_{55} & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & S_{66} \end{pmatrix},
com onde:
S_{11} = \frac{1}{E_1},\quad S_{22} = S_{33} = \frac{1}{E_2},
S_{12} = S_{13} = -\frac{\nu_{12}}{E_1},\quad S_{23} = -\frac{\nu_{23}}{E_2},
S_{44} = \frac{1}{G_{23}},\quad S_{55} = \frac{1}{G_{13}},\quad S_{66} = \frac{1}{G_{12}}.
Agora substituo os números (com unidades \text{GPa}^{-1}):
  • S_{11} = 1/E_1 = 1/139{,}4 \approx 0{,}007172.
  • S_{22} = 1/E_2 = 1/8{,}556 \approx 0{,}11686.
  • S_{12} = -\nu_{12}/E_1 = -0{,}26/139{,}4 \approx -0{,}001866.
  • S_{23} = -\nu_{23}/E_2 = -0{,}35/8{,}556 \approx -0{,}04092.
  • S_{44} = 1/G_{23} = 1/3{,}169 \approx 0{,}3156.
  • S_{55} = 1/G_{13} = 1/3{,}176 \approx 0{,}3149.
  • S_{66} = 1/G_{12} = 1/3{,}176 \approx 0{,}3149.
Escrevendo a matriz (valores aproximados com 3 casas decimais quando apropriado):
[S] \approx \begin{pmatrix} 0{,}007172 & -0{,}001866 & -0{,}001866 & 0 & 0 & 0\\[4pt] -0{,}001866 & 0{,}11686 & -0{,}04092 & 0 & 0 & 0\\[4pt] -0{,}001866 & -0{,}04092 & 0{,}11686 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0{,}3156 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0{,}3149 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0{,}3149 \end{pmatrix}\\ \text{GPa}^{-1}.]

Passo 9

Inversão da matriz [S] para obter a matriz de rigidez [C]
  • Observação prática: [S] é em blocos — a parte de tensões normais é um bloco 3\times 3 simétrico e as componentes de cisalhamento são inversos triviais dos S_{44},S_{55},S_{66}. Assim podemos inverter o bloco 3\times3 das normais e simplesmente reciprocarmos as entradas de cisalhamento.
  • O bloco 3\times 3 das normais é:
S_n = \begin{pmatrix} 0{,}007172 & -0{,}001866 & -0{,}001866\\[4pt] -0{,}001866 & 0{,}11686 & -0{,}04092\\[4pt] -0{,}001866 & -0{,}04092 & 0{,}11686 \end{pmatrix}.
  • Invertendo numericamente esse bloco (cálculo direto por determinante e cofatores — mostro os resultados numéricos importantes) obtém-se o bloco de rigidez C_n=S_n^{-1} com entradas (em GPa):
C_n \approx \begin{pmatrix} 141{,}27 & 3{,}47 & 3{,}47\\[4pt] 3{,}47 & 9{,}85 & 3{,}50\\[4pt] 3{,}47 & 3{,}50 & 9{,}85 \end{pmatrix}\\ \text{GPa}.
  • As componentes de cisalhamento da matriz [C] são simplesmente:
C_{44} = \frac{1}{S_{44}} \approx 3{,}169\\ \text{GPa},\quad C_{55} = \frac{1}{S_{55}} \approx 3{,}176\\ \text{GPa},\quad C_{66} = \frac{1}{S_{66}} \approx 3{,}176\\ \text{GPa}.]

Passo 10

Matriz de rigidez completa [C] (todas as entradas)
  • Compondo C_n com os termos de cisalhamento, a matriz 6\times6 em ordem Voigt 1,2,3,4,5,6 é:
[C] \approx \begin{pmatrix} 141{,}27 & 3{,}47 & 3{,}47 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 3{,}47 & 9{,}85 & 3{,}50 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 3{,}47 & 3{,}50 & 9{,}85 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 3{,}169 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 3{,}176 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3{,}176 \end{pmatrix}\\ \text{GPa}.]

Passo 11

Checagem rápida de consistência e interpretação física
  • E_1 é alto (139,4 GPa): fibras dominam na direção 1 — esperado.
  • E_2 é baixo (8,56 GPa): matriz domina transverse — esperado.
  • G_{12} e G_{23} ≈ 3,17 GPa: cisalhamento é controlado em grande parte pela matriz e está na mesma ordem de grandeza de E_2 dividido por cerca de 2(1+\nu).
  • A rigidez C_{11} ≈ 141 GPa é consistente com E_1 (diferença pequena devido aos termos de acoplamento em 2 e 3).
  • Esses números estão no intervalo típico de compósitos CFRP unidirecionais com V_f\approx 0{,}6.

Resposta

Propriedades estimadas:
E_1 \approx 139{,}4\\ \text{GPa}
E_2 = E_3 \approx 8{,}56\\ \text{GPa}
\nu_{12} \approx 0{,}26
\nu_{21} \approx 0{,}016
\nu_{23} \approx 0{,}35 (assumido)
G_{12} = G_{13} \approx 3{,}176\\ \text{GPa}
G_{23} \approx 3{,}169\\ \text{GPa}
Matriz de flexibilidade [S] ( \text{GPa}^{-1}):
[S] \approx \begin{pmatrix} 0{,}007172 & -0{,}001866 & -0{,}001866 & 0 & 0 & 0\\[4pt] -0{,}001866 & 0{,}11686 & -0{,}04092 & 0 & 0 & 0\\[4pt] -0{,}001866 & -0{,}04092 & 0{,}11686 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0{,}3156 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0{,}3149 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0{,}3149 \end{pmatrix}.
Matriz de rigidez [C]=[S]^{-1} (GPa):
[C] \approx \begin{pmatrix} 141{,}27 & 3{,}47 & 3{,}47 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 3{,}47 & 9{,}85 & 3{,}50 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 3{,}47 & 3{,}50 & 9{,}85 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 3{,}169 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 3{,}176 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3{,}176 \end{pmatrix}.]

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