QUESTÃO 05

Calcule, utilizando a regra das misturas, os módulos elásticos de um compósito unidirecional e de um compósito bi-direcional (2D), reforçado com fibras de
carbono/matriz carbono, considerando os eixos ortogonais. Considerar a fração volumétrica total de fibras de 55 \% /volume e fração volumétrica de vazios de 5 \%. Faça as considerações necessárias. Qual será a massa específica desses compósitos (unidirecional e bidirecional) ?

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Pedido:
    • Calcular, usando a regra das misturas, os módulos elásticos de um compósito reforçado com fibras de carbono em matriz carbono, para os casos:
      • compósito unidirecional (considerando eixos ortogonais),
      • compósito bidirecional (2D) com fibras em duas direções ortogonais.
    • Calcular a massa específica (densidade) desses compósitos.
  • Dados fornecidos:
    • Fração volumétrica total de fibras: V_f = 0{,}55.
    • Fração volumétrica de vazios: V_v = 0{,}05.
    • Logo, fração volumétrica de matriz: V_m = 1 - V_f - V_v = 0{,}40.
  • Observação: o enunciado diz “Faça as considerações necessárias” — portanto vou assumir valores típicos para as propriedades das fases (fibras e matriz) e explicitar essas hipóteses antes de calcular.

Passo 2

Hipóteses e valores típicos adotados (justificativa rápida).
  • Para concretizar a conta, adoto propriedades típicas de compósitos carbono/carbono:
    • massa específica das fibras: \rho_f = 1800\\ \mathrm{kg/m^3} (valor típico para fibras de carbono PAN-based).
    • massa específica da matriz (carbonizada): \rho_m = 1600\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • módulo de Young das fibras: E_f = 230\\ \mathrm{GPa} (valor típico de fibra de alto desempenho).
    • módulo da matriz: E_m = 30\\ \mathrm{GPa} (matriz carbonizada ou grafítica com rigidez bem menor que a fibra).
  • Justificativa: estes valores são representativos e permitem aplicar a regra das misturas; se você tiver valores diferentes do seu material, basta substituir nos mesmos passos.

Passo 3

Princípios e fórmulas (aulas rápidas).
  • Definição das frações volumétricas:
    • V_f = fração volumétrica de fibras, V_m = fração volumétrica de matriz, V_v = fração volumétrica de vazios. Aqui V_f+V_m+V_v=1.
  • Massa específica do compósito (regra das misturas linear para densidade): \rho_c = \rho_f V_f + \rho_m V_m + \rho_v V_v,onde \rho_v é a densidade do vazios (ar), que podemos aproximar como \rho_v\approx0. Logo \rho_c = \rho_f V_f + \rho_m V_m.
  • Regra das misturas para módulo de Young:
    • Para a direção longitudinal (fibras alinhadas com a carga) usa-se o modelo de Voigt (constante deformação): mistura “em paralelo”: E_L = E_f V_f + E_m V_m + E_v V_v.aqui E_v\approx0, então E_L=E_f V_f + E_m V_m.
    • Para a direção transversal (carga perpendicular às fibras) a aproximação simples é o modelo de Reuss (constante tensão média), que dá a média harmônica: \frac{1}{E_T} = \frac{V_f}{E_f} + \frac{V_m}{E_m} + \frac{V_v}{E_v}.porém como E_v\approx0 este somatório levaria a uma divergência (o termo dos vazios explode). Para tratar vazios de forma razoável usa-se uma abordagem prática:
      • primeiro considerar a parte sólida (fibras+matriz) sem vazios, com frações relativas V_f^*=\frac{V_f}{1-V_v},\qquad V_m^*=\frac{V_m}{1-V_v};
      • calcular o módulo transversal do sólido sem vazios por Reuss: \frac{1}{E_T^{\text{(sólido)}}}=\frac{V_f^*}{E_f}+\frac{V_m^*}{E_m};ó
      • então reduzir esse módulo pela fração sólida total (1-V_v) para representar que só essa fração contribui para a rigidez média do compósito: E_T = (1-V_v)\,E_T^{\text{(sólido)}}.ó
      Essa é uma aproximação prática e conservadora para incluir efeitos de porosidade sem obter resultados não-físicos.
  • Para um compósito bi-direcional (fibras igualmente nas duas direções ortogonais no plano), assumimos que a fração volumétrica total de fibras V_f está dividida igualmente entre as duas direções do plano: V_{f,x}=V_{f,y}=V_f/2. Cada direção planar vê uma fração de fibras V_f/2 alinhadas com ela; a matriz e os vazios permanecem com V_m e V_v.

Passo 4

Cálculo da massa específica do compósito (unidirecional e bidirecional).
  • Fórmula: \rho_c = \rho_f V_f + \rho_m V_m.
  • Substituindo os valores: \rho_c = 1800\cdot 0{,}55 + 1600\cdot 0{,}40.Calcule: 1800\cdot 0{,}55 = 990,\qquad 1600\cdot 0{,}40 = 640.Portanto \rho_c = 990 + 640 = 1630\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Observação: a densidade não depende da orientação das fibras, logo é a mesma para o compósito unidirecional e para o bidirecional com as mesmas frações volumétricas.

Passo 5

Módulo elástico do compósito unidirecional — direção longitudinal (eixo paralelo às fibras).
  • Usando Voigt: E_{u,L} = E_f V_f + E_m V_m.
  • Substituindo: E_{u,L} = 230\\ \mathrm{GPa}\cdot 0{,}55 + 30\\ \mathrm{GPa}\cdot 0{,}40.
E_{u,L} = 126{,}5 + 12 = 138{,}5\\ \mathrm{GPa}.

Passo 6

Módulo elástico do compósito unidirecional — direção transversal (eixo perpendicular às fibras), tratanto vazios com a aproximação descrita.
  • Primeiro frações na parte sólida: V_f^*=\frac{0{,}55}{0{,}95}=0{,}578947\ldots,\qquad V_m^*=\frac{0{,}40}{0{,}95}=0{,}421052\ldots
  • Reuss (sólido): \frac{1}{E_{u,T}^{\text{(sólido)}}}=\frac{V_f^*}{E_f}+\frac{V_m^*}{E_m} =\frac{0{,}578947}{230}+\frac{0{,}421053}{30}.óCalcule os termos: \frac{0{,}578947}{230}\approx 0{,}0025159,\qquad \frac{0{,}421053}{30}\approx 0{,}0140351.Soma: \frac{1}{E_{u,T}^{\text{(sólido)}}}\approx 0{,}016551.óInvertendo: E_{u,T}^{\text{(sólido)}}\approx 60{,}42\\ \mathrm{GPa}.ó
  • Agora reduzir pela fração sólida (1-V_v)=0{,}95: E_{u,T}=(1-V_v)\,E_{u,T}^{\text{(sólido)}}=0{,}95\cdot 60{,}42\\ \mathrm{GPa}\approx 57{,}40\\ \mathrm{GPa}.ó

Passo 7

Módulos elásticos do compósito bidirecional (2D ortogonal) — eixos ortogonais no plano.
  • Distribuição: V_{f,x}=V_{f,y}=V_f/2=0{,}275. O restante continua V_m=0{,}40 e V_v=0{,}05.
  • Para a direção x (e, por simetria, também y) podemos aplicar Voigt com a fração de fibras alinhadas nessa direção: E_{b,x} = E_f V_{f,x} + E_m V_m = 230\cdot 0{,}275 + 30\cdot 0{,}40.Calcule: 230\cdot 0{,}275 = 63{,}25,\qquad 30\cdot 0{,}40 = 12,
E_{b,x} = 63{,}25 + 12 = 75{,}25\\ \mathrm{GPa}.
  • Pela simetria do arranjo ortogonal igual, E_{b,y}=E_{b,x}=75{,}25\\ \mathrm{GPa}.
  • (Se quiséssemos estimar um “transversal” no sentido do material sem fibras naquele eixo, aplicaríamos a mesma técnica Reuss+escala por 1-V_v usando V_{f,x} em lugar de V_f. Mas como cada eixo tem a sua fração de fibras 0{,}275, o valor Voigt acima dá o módulo efetivo em cada direção do plano.)

Passo 8

Resumo das hipóteses e indicação de sensibilidade.
  • Hipóteses principais: \rho_f=1800\\ \mathrm{kg/m^3}, \rho_m=1600\\ \mathrm{kg/m^3}, E_f=230\\ \mathrm{GPa}, E_m=30\\ \mathrm{GPa}. Se qualquer um desses números mudar (por exemplo fibra de módulo 350 GPa ou matriz mais rígida), os módulos calculados mudam linearmente conforme as fórmulas usadas.
  • A aproximação usada para o efeito dos vazios (calcular propriedades do sólido e multiplicar por 1-V_v) é prática e evita resultados não-físicos; em aplicações reais recomenda-se ajuste por ensaio/CFD ou uso de modelos micromecânicos mais sofisticados.

Resposta

Unidirecional — módulo longitudinal (eixo paralelo às fibras): 138{,}5\\ \mathrm{GPa}
Unidirecional — módulo transversal (eixo perpendicular às fibras, com correção de vazios): 57{,}40\\ \mathrm{GPa}
Bidirecional (2D ortogonal, fração de fibras dividida igualmente) — módulos em plano x e y: E_{b,x}=E_{b,y}=75{,}25\\ \mathrm{GPa}
Massa específica (ambos os compósitos): \rho_c = 1630\\ \mathrm{kg/m^3}

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