QUESTÃO 05
Calcule, utilizando a regra das misturas, os módulos elásticos de um compósito unidirecional e de um compósito bi-direcional (2D), reforçado com fibras de
carbono/matriz carbono, considerando os eixos ortogonais. Considerar a fração volumétrica total de fibras de
/volume e fração volumétrica de vazios de
. Faça as considerações necessárias. Qual será a massa específica desses compósitos (unidirecional e bidirecional) ?
carbono/matriz carbono, considerando os eixos ortogonais. Considerar a fração volumétrica total de fibras de
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
- Pedido:
- Calcular, usando a regra das misturas, os módulos elásticos de um compósito reforçado com fibras de carbono em matriz carbono, para os casos:
- compósito unidirecional (considerando eixos ortogonais),
- compósito bidirecional (2D) com fibras em duas direções ortogonais.
- Calcular a massa específica (densidade) desses compósitos.
- Calcular, usando a regra das misturas, os módulos elásticos de um compósito reforçado com fibras de carbono em matriz carbono, para os casos:
- Dados fornecidos:
- Fração volumétrica total de fibras:
. - Fração volumétrica de vazios:
. - Logo, fração volumétrica de matriz:
.
- Fração volumétrica total de fibras:
- Observação: o enunciado diz “Faça as considerações necessárias” — portanto vou assumir valores típicos para as propriedades das fases (fibras e matriz) e explicitar essas hipóteses antes de calcular.
Passo 2
Hipóteses e valores típicos adotados (justificativa rápida).
- Para concretizar a conta, adoto propriedades típicas de compósitos carbono/carbono:
- massa específica das fibras:
(valor típico para fibras de carbono PAN-based). - massa específica da matriz (carbonizada):
. - módulo de Young das fibras:
(valor típico de fibra de alto desempenho). - módulo da matriz:
(matriz carbonizada ou grafítica com rigidez bem menor que a fibra).
- massa específica das fibras:
- Justificativa: estes valores são representativos e permitem aplicar a regra das misturas; se você tiver valores diferentes do seu material, basta substituir nos mesmos passos.
Passo 3
Princípios e fórmulas (aulas rápidas).
- Definição das frações volumétricas:
-
= fração volumétrica de fibras, = fração volumétrica de matriz, = fração volumétrica de vazios. Aqui .
-
- Massa específica do compósito (regra das misturas linear para densidade):
onde é a densidade do vazios (ar), que podemos aproximar como . Logo - Regra das misturas para módulo de Young:
- Para a direção longitudinal (fibras alinhadas com a carga) usa-se o modelo de Voigt (constante deformação): mistura “em paralelo”:
aqui , então . - Para a direção transversal (carga perpendicular às fibras) a aproximação simples é o modelo de Reuss (constante tensão média), que dá a média harmônica:
porém como este somatório levaria a uma divergência (o termo dos vazios explode). Para tratar vazios de forma razoável usa-se uma abordagem prática: - primeiro considerar a parte sólida (fibras+matriz) sem vazios, com frações relativas
- calcular o módulo transversal do sólido sem vazios por Reuss:
- então reduzir esse módulo pela fração sólida total
para representar que só essa fração contribui para a rigidez média do compósito:
- primeiro considerar a parte sólida (fibras+matriz) sem vazios, com frações relativas
- Para a direção longitudinal (fibras alinhadas com a carga) usa-se o modelo de Voigt (constante deformação): mistura “em paralelo”:
- Para um compósito bi-direcional (fibras igualmente nas duas direções ortogonais no plano), assumimos que a fração volumétrica total de fibras
está dividida igualmente entre as duas direções do plano: . Cada direção planar vê uma fração de fibras alinhadas com ela; a matriz e os vazios permanecem com e .
Passo 4
Cálculo da massa específica do compósito (unidirecional e bidirecional).
- Fórmula:
- Substituindo os valores:
Calcule: Portanto - Observação: a densidade não depende da orientação das fibras, logo é a mesma para o compósito unidirecional e para o bidirecional com as mesmas frações volumétricas.
Passo 5
Módulo elástico do compósito unidirecional — direção longitudinal (eixo paralelo às fibras).
- Usando Voigt:
- Substituindo:
Passo 6
Módulo elástico do compósito unidirecional — direção transversal (eixo perpendicular às fibras), tratanto vazios com a aproximação descrita.
- Primeiro frações na parte sólida:
- Reuss (sólido):
Calcule os termos: Soma: Invertendo: - Agora reduzir pela fração sólida
:
Passo 7
Módulos elásticos do compósito bidirecional (2D ortogonal) — eixos ortogonais no plano.
- Distribuição:
. O restante continua e . - Para a direção
(e, por simetria, também ) podemos aplicar Voigt com a fração de fibras alinhadas nessa direção: Calcule:
- Pela simetria do arranjo ortogonal igual,
. - (Se quiséssemos estimar um “transversal” no sentido do material sem fibras naquele eixo, aplicaríamos a mesma técnica Reuss+escala por
usando em lugar de . Mas como cada eixo tem a sua fração de fibras , o valor Voigt acima dá o módulo efetivo em cada direção do plano.)
Passo 8
Resumo das hipóteses e indicação de sensibilidade.
- Hipóteses principais:
, , , . Se qualquer um desses números mudar (por exemplo fibra de módulo 350 GPa ou matriz mais rígida), os módulos calculados mudam linearmente conforme as fórmulas usadas. - A aproximação usada para o efeito dos vazios (calcular propriedades do sólido e multiplicar por
) é prática e evita resultados não-físicos; em aplicações reais recomenda-se ajuste por ensaio/CFD ou uso de modelos micromecânicos mais sofisticados.
Resposta
Unidirecional — módulo longitudinal (eixo paralelo às fibras):
Unidirecional — módulo transversal (eixo perpendicular às fibras, com correção de vazios):
Bidirecional (2D ortogonal, fração de fibras dividida igualmente) — módulos em plano e
:
Massa específica (ambos os compósitos):
Unidirecional — módulo transversal (eixo perpendicular às fibras, com correção de vazios):
Bidirecional (2D ortogonal, fração de fibras dividida igualmente) — módulos em plano
Massa específica (ambos os compósitos):