Questão 04 - Seja um lançamento oblíquo, com ângulo de lançamento
, com relação a horizontal e sem resistência do ar, sob ação de um campo gravitacional constante do tipo
. Determine:
a. A função trajetória
, e com isso mostre que a trajetória é parabólica;
b. A altura máxima, mostre que o tempo de subida é igual ao de descida e o tempo total ou de trânsito é o dobro dos primeiros;
c. O alcance do lançamento, e mostre utilizando o conceito de máximos e mínimos do cálculo diferencial a condição para o alcance máximo.
a. A função trajetória
b. A altura máxima, mostre que o tempo de subida é igual ao de descida e o tempo total ou de trânsito é o dobro dos primeiros;
c. O alcance do lançamento, e mostre utilizando o conceito de máximos e mínimos do cálculo diferencial a condição para o alcance máximo.
Passo 1
O enunciado dá um lançamento oblíquo feito sem resistência do ar, com ângulo de lançamento
em relação à horizontal, sob ação de um campo gravitacional constante
. As perguntas são:
- Obter a função trajetória
e mostrar que é parabólica. - Calcular a altura máxima, mostrar que o tempo de subida é igual ao de descida e que o tempo total é o dobro do tempo de subida.
- Calcular o alcance do lançamento e, usando máximos e mínimos do cálculo diferencial, achar a condição para que o alcance seja máximo.
Informações relevantes que vamos usar (assumimos o ponto de lançamento como origem, isso é padrão e basta transladar se necessário):
- velocidade inicial em módulo
e direção ; escolhemos como incógnita a velocidade inicial porque o enunciado não a especifica; - posição inicial
; - velocidade inicial vetorial
; - aceleração constante
(atenção ao sinal de ; se então a aceleração aponta para baixo; na notação usual definimos quando for conveniente).
A partir daqui começamos a resolver passo a passo.
Passo 2
Apresentando a fórmula fundamental da cinemática em movimento retilíneo uniformemente acelerado (aplicada componente a componente):
Explicando cada símbolo:
-
é o vetor posição no tempo . -
é a posição inicial (aqui ). -
é a velocidade inicial. -
é a aceleração constante (a gravidade), dada no enunciado.
Essa fórmula vem da integração da aceleração constante:e .
Passo 3
Agora separamos as componentes horizontal (
) e vertical (
) da expressão vetorial. Como
e
e
(note que
é o eixo vertical; aqui usamos
para vertical no plano — se preferir, pense
no plano vertical), as componentes horizontais e verticais das posições são:
Aqui
é o deslocamento horizontal e
o vertical. Obs.: se
o termo quadrático reduz
(efeito de queda).
Passo 4
Para obter a trajetória
em função de
(ou seja, eliminar
), isolamos
em
:
Substituímos esse
em
:
Simplificando termo a termo:
Comentário didático: essa expressão é um polinômio em
de grau 2 (tem termo em
e termo em
), portanto a curva é uma parábola. Se quisermos usar a notação usual com gravidade positiva
apontando para baixo, definimos
e escrevemos
que é a forma clássica e mostra explicitamente o termo negativo em
que “vira” a parábola para baixo.
Passo 5
Agora calculamos o tempo de subida
e a altura máxima. A componente vertical da velocidade é
obtida de
. No ponto mais alto a velocidade vertical é zero, então resolvemos
:
Interpretação do sinal: se
(gravidade para baixo) então
como esperado. Para tornar as fórmulas familiares, tomando
obtemos
Agora a altura máxima é
no tempo
:
Substituindo
e simplificando (faça as contas como eu mostro):
Primeiro termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Somando:
Usando
(com
) obtemos a forma padrão:
Explicação: a conta foi só substituir e simplificar frações; o sinal negativo inicial é corrigido pela definição de
.
Passo 6
Mostramos que o tempo de descida é igual ao de subida quando o projétil retorna à mesma altura de lançamento (aqui
). Para achar o tempo total de voo
usamos
, com
. Isso é uma equação quadrática em
:
Fatorando
:
As soluções são
(tempo inicial) e
Comparando com
vemos imediatamente que
Logo o tempo desde o lançamento até o ponto mais alto é igual ao tempo do ponto mais alto até o retorno à mesma altura: tempo de subida = tempo de descida. Em notação usual com
:
Passo 7
Cálculo do alcance horizontal
(distância horizontal percorrida até o projétil voltar à altura de lançamento). Usamos
com
:
Usando a identidade trigonométrica
, podemos escrever
Na notação usual com
(ou seja,
):
Essa é a fórmula clássica do alcance de um lançamento oblíquo com mesma altura inicial e final.
Passo 8
Agora determinamos a condição para o alcance máximo usando cálculo diferencial. Tratamos
como função de
:
onde aqui já usamos
(forma mais clara). Derivamos em relação a
:
Para extremos devemos ter
, logo
As soluções são
, isto é
No intervalo físico de lançamento
a solução relevante é
(ou
). Para confirmar que é máximo avaliamos a segunda derivada:
Em
temos
, então
o que garante que é um máximo local (e como a função é simples, é o máximo global no intervalo). O alcance máximo é então