Questão 04 - Seja um lançamento oblíquo, com ângulo de lançamento \theta, com relação a horizontal e sem resistência do ar, sob ação de um campo gravitacional constante do tipo \vec{g}=g_{0} \widehat{k}. Determine:
a. A função trajetória [y=y(x)], e com isso mostre que a trajetória é parabólica;
b. A altura máxima, mostre que o tempo de subida é igual ao de descida e o tempo total ou de trânsito é o dobro dos primeiros;
c. O alcance do lançamento, e mostre utilizando o conceito de máximos e mínimos do cálculo diferencial a condição para o alcance máximo.

Passo 1

O enunciado dá um lançamento oblíquo feito sem resistência do ar, com ângulo de lançamento \theta em relação à horizontal, sob ação de um campo gravitacional constante \vec{g}=g_{0}\widehat{k}. As perguntas são:
  1. Obter a função trajetória y=y(x) e mostrar que é parabólica.
  2. Calcular a altura máxima, mostrar que o tempo de subida é igual ao de descida e que o tempo total é o dobro do tempo de subida.
  3. Calcular o alcance do lançamento e, usando máximos e mínimos do cálculo diferencial, achar a condição para que o alcance seja máximo.
Informações relevantes que vamos usar (assumimos o ponto de lançamento como origem, isso é padrão e basta transladar se necessário):
  • velocidade inicial em módulo v_0 e direção \theta; escolhemos como incógnita a velocidade inicial v_0 porque o enunciado não a especifica;
  • posição inicial \vec r(0) = \vec 0;
  • velocidade inicial vetorial \vec v_0 = v_0(\cos\theta\,\widehat{i} + \sin\theta\,\widehat{j});
  • aceleração constante \vec a=\vec g=g_{0}\widehat{k} (atenção ao sinal de g_{0}; se g_{0}<0 então a aceleração aponta para baixo; na notação usual definimos g:=-g_{0}>0 quando for conveniente).
A partir daqui começamos a resolver passo a passo.

Passo 2

Apresentando a fórmula fundamental da cinemática em movimento retilíneo uniformemente acelerado (aplicada componente a componente):
\vec r(t)=\vec r(0)+\vec v_0 t + \frac{1}{2}\vec g t^2.
Explicando cada símbolo:
  • \vec r(t) é o vetor posição no tempo t.
  • \vec r(0) é a posição inicial (aqui \vec 0).
  • \vec v_0 é a velocidade inicial.
  • \vec g é a aceleração constante (a gravidade), dada no enunciado.
    Essa fórmula vem da integração da aceleração constante: \vec v(t)=\vec v_0+\vec g t e \vec r(t)=\vec r_0+\int_0^t \vec v(s)\,ds.

Passo 3

Agora separamos as componentes horizontal ( \widehat{i}) e vertical ( \widehat{j}) da expressão vetorial. Como \vec r(0)=\vec 0 e \vec v_0 = v_0(\cos\theta\,\widehat{i}+\sin\theta\,\widehat{j}) e \vec g=g_{0}\widehat{k} (note que \widehat{k} é o eixo vertical; aqui usamos \widehat{j} para vertical no plano — se preferir, pense \widehat{j}\equiv\widehat{k} no plano vertical), as componentes horizontais e verticais das posições são:
x(t)=v_0\cos\theta\; t,
y(t)=v_0\sin\theta\; t + \frac{1}{2}g_{0}\; t^2.
Aqui x(t) é o deslocamento horizontal e y(t) o vertical. Obs.: se g_0<0 o termo quadrático reduz y (efeito de queda).

Passo 4

Para obter a trajetória y em função de x (ou seja, eliminar t), isolamos t em x(t):
t=\frac{x}{v_0\cos\theta}.
Substituímos esse t em y(t):
y(x)=v_0\sin\theta\left(\frac{x}{v_0\cos\theta}\right)+\frac{1}{2}g_{0}\left(\frac{x}{v_0\cos\theta}\right)^2.
Simplificando termo a termo:
y(x)=x\tan\theta + \frac{g_{0}}{2v_0^2\cos^2\theta}\;x^2.
Comentário didático: essa expressão é um polinômio em x de grau 2 (tem termo em x e termo em x^2), portanto a curva é uma parábola. Se quisermos usar a notação usual com gravidade positiva g>0 apontando para baixo, definimos g:=-g_{0} e escrevemos
y(x)=x\tan\theta - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\theta}\;x^2,
que é a forma clássica e mostra explicitamente o termo negativo em x^2 que “vira” a parábola para baixo.

Passo 5

Agora calculamos o tempo de subida t_{\text{subida}} e a altura máxima. A componente vertical da velocidade é
v_y(t)=v_0\sin\theta + g_{0}\,t,
obtida de \vec v(t)=\vec v_0+\vec g t. No ponto mais alto a velocidade vertical é zero, então resolvemos v_y(t)=0:
0=v_0\sin\theta + g_{0}\,t_{\text{subida}} \quad\Rightarrow\quad t_{\text{subida}}=-\frac{v_0\sin\theta}{g_{0}}.
Interpretação do sinal: se g_{0}<0 (gravidade para baixo) então t_{\text{subida}}>0 como esperado. Para tornar as fórmulas familiares, tomando g:=-g_{0}>0 obtemos
t_{\text{subida}}=\frac{v_0\sin\theta}{g}.
Agora a altura máxima é y no tempo t_{\text{subida}}:
y_{\text{max}}=y\bigl(t_{\text{subida}}\bigr)=v_0\sin\theta\;t_{\text{subida}} + \frac{1}{2}g_{0}\;t_{\text{subida}}^2.
Substituindo t_{\text{subida}}=-\dfrac{v_0\sin\theta}{g_{0}} e simplificando (faça as contas como eu mostro):
Primeiro termo:
v_0\sin\theta\;t_{\text{subida}}=v_0\sin\theta\left(-\frac{v_0\sin\theta}{g_{0}}\right)=-\frac{v_0^2\sin^2\theta}{g_{0}}.
Segundo termo:
\frac{1}{2}g_{0}\;t_{\text{subida}}^2=\frac{1}{2}g_{0}\left(\frac{v_0^2\sin^2\theta}{g_{0}^2}\right)=\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g_{0}}.
Somando:
y_{\text{max}}=-\frac{v_0^2\sin^2\theta}{g_{0}}+\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g_{0}}=-\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g_{0}}.
Usando g:=-g_{0} (com g>0) obtemos a forma padrão:
y_{\text{max}}=\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}.
Explicação: a conta foi só substituir e simplificar frações; o sinal negativo inicial é corrigido pela definição de g.

Passo 6

Mostramos que o tempo de descida é igual ao de subida quando o projétil retorna à mesma altura de lançamento (aqui y=0). Para achar o tempo total de voo t_{\text{total}} usamos y(t_{\text{total}})=0, com y(t)=v_0\sin\theta\;t+\frac{1}{2}g_{0}t^2. Isso é uma equação quadrática em t:
\frac{1}{2}g_{0}t^2 + v_0\sin\theta\;t =0.
Fatorando t:
t\left(\frac{1}{2}g_{0}t + v_0\sin\theta\right)=0.
As soluções são t=0 (tempo inicial) e
t_{\text{total}}=-\frac{2v_0\sin\theta}{g_{0}}.
Comparando com t_{\text{subida}}=-\dfrac{v_0\sin\theta}{g_{0}} vemos imediatamente que
t_{\text{total}}=2\,t_{\text{subida}}.
Logo o tempo desde o lançamento até o ponto mais alto é igual ao tempo do ponto mais alto até o retorno à mesma altura: tempo de subida = tempo de descida. Em notação usual com g>0:
t_{\text{subida}}=\frac{v_0\sin\theta}{g},\qquad t_{\text{total}}=\frac{2v_0\sin\theta}{g}.

Passo 7

Cálculo do alcance horizontal R (distância horizontal percorrida até o projétil voltar à altura de lançamento). Usamos x(t)=v_0\cos\theta\;t com t=t_{\text{total}}:
R=x(t_{\text{total}})=v_0\cos\theta\left(-\frac{2v_0\sin\theta}{g_{0}}\right)=-\frac{2v_0^2\sin\theta\cos\theta}{g_{0}}.
Usando a identidade trigonométrica \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta, podemos escrever
R=-\frac{v_0^2}{g_{0}}\sin(2\theta).
Na notação usual com g>0 (ou seja, g=-g_{0}):
R=\frac{v_0^2}{g}\sin(2\theta).
Essa é a fórmula clássica do alcance de um lançamento oblíquo com mesma altura inicial e final.

Passo 8

Agora determinamos a condição para o alcance máximo usando cálculo diferencial. Tratamos R como função de \theta:
R(\theta)=\frac{v_0^2}{g}\sin(2\theta),
onde aqui já usamos g>0 (forma mais clara). Derivamos em relação a \theta:
\frac{dR}{d\theta}=\frac{v_0^2}{g}\cdot 2\cos(2\theta)=\frac{2v_0^2}{g}\cos(2\theta).
Para extremos devemos ter \dfrac{dR}{d\theta}=0, logo
\cos(2\theta)=0.
As soluções são 2\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi, isto é
\theta=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}.
No intervalo físico de lançamento 0\le\theta\le\frac{\pi}{2} a solução relevante é \theta=\frac{\pi}{4} (ou 45^\circ). Para confirmar que é máximo avaliamos a segunda derivada:
\frac{d^2R}{d\theta^2}=\frac{2v_0^2}{g}\cdot(-2\sin(2\theta))=-\frac{4v_0^2}{g}\sin(2\theta).
Em \theta=\frac{\pi}{4} temos \sin(2\theta)=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, então
\left.\frac{d^2R}{d\theta^2}\right|_{\theta=\pi/4}=-\frac{4v_0^2}{g}<0,
o que garante que é um máximo local (e como a função é simples, é o máximo global no intervalo). O alcance máximo é então
R_{\text{max}}=\frac{v_0^2}{g}\sin\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right)=\frac{v_0^2}{g}\cdot 1=\frac{v_0^2}{g}.

Resposta

y(x)=x\tan\theta + \dfrac{g_{0}}{2v_0^2\cos^2\theta}\;x^2 (parábola).
t_{\text{subida}}=-\dfrac{v_0\sin\theta}{g_{0}}, \;t_{\text{total}}=-\dfrac{2v_0\sin\theta}{g_{0}} (logo t_{\text{total}}=2t_{\text{subida}} e tempo de subida = tempo de descida).
y_{\text{max}}=-\dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g_{0}} (ou, usando g:=-g_{0}>0, \;y_{\text{max}}=\dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}).
R=-\dfrac{v_0^2}{g_{0}}\sin(2\theta) (ou \;R=\dfrac{v_0^2}{g}\sin(2\theta) com g>0). Condição de máximo: \theta=\dfrac{\pi}{4} (45°) e R_{\text{max}}=\dfrac{v_0^2}{g}.

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