Questão 06 - dadas as mesmas condições da questão anterior (e que \vec{r}=r \hat{r} ), mostre que:
a. as relações v=\omega r, a=v^{2} / r e \vec{a}=-\omega^{2} \vec{r} são válidas;
b. dado que o a partícula está em MCU , i.é. (ou seja), a força resultante sobre ela é a centrípeta, mostre que a essa força centrípeta pode ser escrita como:
\vec{F}=-m \omega^{2} \vec{r}=-m \frac{v^{2}}{r} \hat{r}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
a) Mostrar que as relações
v=\omega r,\qquad a=\frac{v^{2}}{r},\qquad \vec{a}=-\omega^{2}\vec{r}
são válidas, sabendo que \vec{r}=r\hat{r}.
b) Sabendo que a partícula está em MCU (movimento circular uniforme), ou seja, que a força resultante é a centrípeta, mostrar que essa força pode ser escrita como
\vec{F}=-m\omega^{2}\vec{r}=-m\frac{v^{2}}{r}\hat{r}.
Informações dadas que vamos usar: a posição é \vec{r}=r\hat{r} (o vetor radial) e a partícula descreve um círculo de raio r. Nada mais foi pedido aqui; a resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Entendendo as grandezas e as bases polares (mini-aula).
  • \hat{r} é o versor radial: aponta do centro do círculo para a posição da partícula.
  • \hat{\theta} é o versor tangencial (ortogonal a \hat{r}), apontando no sentido do movimento (para ângulo crescente).
    Uma forma prática de trabalhar com esses versores é escrevê‑los em coordenadas cartesianas usando o ângulo \theta(t) que a posição faz com o eixo x:
\hat{r}=(\cos\theta,\;\sin\theta),\qquad \hat{\theta}=(-\sin\theta,\;\cos\theta).
Aqui \theta=\theta(t) é a posição angular da partícula em função do tempo. Essas expressões são úteis porque permitem calcular as derivadas temporais dos versores — passo essencial na derivação da velocidade e da aceleração.

Passo 3

Derivadas dos versores (por que aparecem termos com \omega).
Derivando \hat{r} em relação ao tempo:
\frac{d\hat{r}}{dt}=\frac{d}{dt}(\cos\theta,\sin\theta)=(-\sin\theta\,\dot{\theta},\;\cos\theta\,\dot{\theta})=\dot{\theta}\,\hat{\theta}.
Derivando \hat{\theta}:
\frac{d\hat{\theta}}{dt}=\frac{d}{dt}(-\sin\theta,\cos\theta)=(-\cos\theta\,\dot{\theta},\; -\sin\theta\,\dot{\theta})=-\dot{\theta}\,\hat{r}.
Interpretação: ao rodar o ângulo, o versor radial gira e ganha uma componente tangencial proporcional à velocidade angular \dot{\theta}. Para MCU a velocidade angular é constante; chamamos essa velocidade angular de \omega:
\omega=\dot{\theta}\quad\text{(para MCU, \(\omega\) constante).}

Passo 4

Cálculo da velocidade a partir de \vec{r}=r\hat{r}.
A velocidade é a derivada temporal de \vec{r}:
\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(r\hat{r}\bigr).
Como estamos num círculo de raio fixo, r é constante e sai da derivada:
\vec{v}=r\frac{d\hat{r}}{dt}.
Usando o resultado do Passo 3, \frac{d\hat{r}}{dt}=\dot{\theta}\,\hat{\theta}, obtemos
\vec{v}=r\dot{\theta}\,\hat{\theta}.
Definindo \omega=\dot{\theta}, temos
\vec{v}=r\omega\,\hat{\theta}.
Daí a magnitude da velocidade (valor escalar) é
v=|\vec{v}|=r\omega.
Isso mostra a primeira relação pedida: v=\omega r. Comentário amigável: é intuitivo — a velocidade tangencial cresce com o raio e com a rapidez angular.

Passo 5

Expressão da aceleração geral e especialização para MCU.
A aceleração é a derivada temporal da velocidade:
\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl(r\dot{\theta}\,\hat{\theta}\bigr).
Novamente r é constante, então
\vec{a}=r\ddot{\theta}\,\hat{\theta}+r\dot{\theta}\frac{d\hat{\theta}}{dt}.
Usando \frac{d\hat{\theta}}{dt}=-\dot{\theta}\,\hat{r} (do Passo 3), fica
\vec{a}=r\ddot{\theta}\,\hat{\theta}-r\dot{\theta}^{2}\,\hat{r}.
Esta é a expressão geral para aceleração em coordenadas polares com r fixo: tem um termo tangencial r\ddot{\theta}\,\hat{\theta} (variação da velocidade angular) e um termo radial -r\dot{\theta}^{2}\,\hat{r} (dirigido para o centro).

Passo 6

Uniformidade do movimento (MCU) simplifica a aceleração.
Para MCU a velocidade angular é constante, então \ddot{\theta}=0 e \dot{\theta}=\omega (constante). Assim o termo tangencial desaparece e sobra apenas o termo radial:
\vec{a}=-r\dot{\theta}^{2}\,\hat{r}=-r\omega^{2}\,\hat{r}.
Reescrevendo usando \vec{r}=r\hat{r}, obtemos a forma vetorial compacta
\vec{a}=-\omega^{2}\vec{r}.
Essa é exatamente a terceira relação pedida em (a). Observação: o sinal negativo indica que a aceleração aponta para o centro (direção oposta a \hat{r}), por isso chamamos de aceleração centrípeta.

Passo 7

Mostrar a=\dfrac{v^{2}}{r} a partir das relações já obtidas.
A magnitude da aceleração radial é
a=|\vec{a}|=r\omega^{2}.
Usando v=r\omega (Passo 4) temos
v^{2}=(r\omega)^{2}=r^{2}\omega^{2}\quad\Rightarrow\quad r\omega^{2}=\frac{v^{2}}{r}.
Portanto
a=\frac{v^{2}}{r}.
Isso confirma a segunda relação pedida em (a). Resumindo: v=\omega r, a=\dfrac{v^{2}}{r} e \vec{a}=-\omega^{2}\vec{r}.

Passo 8

Ligando com a força centrípeta (parte b).
Pela segunda lei de Newton, a força resultante é massa vezes aceleração:
\vec{F}=m\vec{a}.
Usando \vec{a}=-\omega^{2}\vec{r} (Passo 6),
\vec{F}=-m\omega^{2}\vec{r}.
Substituindo \vec{r}=r\hat{r} ou usando a forma com v (Passo 7), obtemos também
\vec{F}=-m\frac{v^{2}}{r}\,\hat{r}.
O sinal negativo indica que a força aponta para o centro — é centrípeta. Assim mostramos a expressão pedida em (b).

Passo 9

Resumo rápido das derivações (como lembrar na prova).
  • Escreva \vec{r}=r\hat{r} e lembre que, para r constante, \vec{v}=r\dot{\hat{r}}.
  • Use \hat{r}=(\cos\theta,\sin\theta) para achar \dot{\hat{r}}=\dot{\theta}\hat{\theta}.
  • Logo \vec{v}=r\dot{\theta}\hat{\theta}\Rightarrow v=r\omega.
  • Diferencie \vec{v} e, para MCU ( \ddot{\theta}=0), pegue \vec{a}=-r\dot{\theta}^{2}\hat{r}=-\omega^{2}\vec{r}.
  • Aplique \vec{F}=m\vec{a} para obter a força centrípeta.
    Boa dica: na prova, basta lembrar que \dot{\hat{r}}=\dot{\theta}\hat{\theta} e \dot{\hat{\theta}}=-\dot{\theta}\hat{r}; isso resolve a maior parte dos exercícios rápidos de MCU.

Resposta

a. v=\omega r,\quad a=\dfrac{v^{2}}{r},\quad \vec{a}=-\omega^{2}\vec{r}
b. \vec{F}=-m\omega^{2}\vec{r}=-m\frac{v^{2}}{r}\hat{r}

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