Questão 06 - dadas as mesmas condições da questão anterior (e que
), mostre que:
a. as relações
e
são válidas;
b. dado que o a partícula está em MCU , i.é. (ou seja), a força resultante sobre ela é a centrípeta, mostre que a essa força centrípeta pode ser escrita como:
a. as relações
b. dado que o a partícula está em MCU , i.é. (ou seja), a força resultante sobre ela é a centrípeta, mostre que a essa força centrípeta pode ser escrita como:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
a) Mostrar que as relações
a) Mostrar que as relações
são válidas, sabendo que
.
b) Sabendo que a partícula está em MCU (movimento circular uniforme), ou seja, que a força resultante é a centrípeta, mostrar que essa força pode ser escrita como
b) Sabendo que a partícula está em MCU (movimento circular uniforme), ou seja, que a força resultante é a centrípeta, mostrar que essa força pode ser escrita como
Informações dadas que vamos usar: a posição é
(o vetor radial) e a partícula descreve um círculo de raio
. Nada mais foi pedido aqui; a resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Entendendo as grandezas e as bases polares (mini-aula).
-
é o versor radial: aponta do centro do círculo para a posição da partícula. -
é o versor tangencial (ortogonal a ), apontando no sentido do movimento (para ângulo crescente).
Uma forma prática de trabalhar com esses versores é escrevê‑los em coordenadas cartesianas usando o ânguloque a posição faz com o eixo :
Aqui
é a posição angular da partícula em função do tempo. Essas expressões são úteis porque permitem calcular as derivadas temporais dos versores — passo essencial na derivação da velocidade e da aceleração.
Passo 3
Derivadas dos versores (por que aparecem termos com
).
Derivando em relação ao tempo:
Derivando
Derivando
:
Interpretação: ao rodar o ângulo, o versor radial gira e ganha uma componente tangencial proporcional à velocidade angular
. Para MCU a velocidade angular é constante; chamamos essa velocidade angular de
:
Passo 4
Cálculo da velocidade a partir de
.
A velocidade é a derivada temporal de :
A velocidade é a derivada temporal de
Como estamos num círculo de raio fixo,
é constante e sai da derivada:
Usando o resultado do Passo 3,
, obtemos
Definindo
, temos
Daí a magnitude da velocidade (valor escalar) é
Isso mostra a primeira relação pedida:
. Comentário amigável: é intuitivo — a velocidade tangencial cresce com o raio e com a rapidez angular.
Passo 5
Expressão da aceleração geral e especialização para MCU.
A aceleração é a derivada temporal da velocidade:
A aceleração é a derivada temporal da velocidade:
Novamente
é constante, então
Usando
(do Passo 3), fica
Esta é a expressão geral para aceleração em coordenadas polares com
fixo: tem um termo tangencial
(variação da velocidade angular) e um termo radial
(dirigido para o centro).
Passo 6
Uniformidade do movimento (MCU) simplifica a aceleração.
Para MCU a velocidade angular é constante, então e
(constante). Assim o termo tangencial desaparece e sobra apenas o termo radial:
Para MCU a velocidade angular é constante, então
Reescrevendo usando
, obtemos a forma vetorial compacta
Essa é exatamente a terceira relação pedida em (a). Observação: o sinal negativo indica que a aceleração aponta para o centro (direção oposta a
), por isso chamamos de aceleração centrípeta.
Passo 7
Mostrar
a partir das relações já obtidas.
A magnitude da aceleração radial é
A magnitude da aceleração radial é
Usando
(Passo 4) temos
Portanto
Isso confirma a segunda relação pedida em (a). Resumindo:
,
e
.
Passo 8
Ligando com a força centrípeta (parte b).
Pela segunda lei de Newton, a força resultante é massa vezes aceleração:
Pela segunda lei de Newton, a força resultante é massa vezes aceleração:
Usando
(Passo 6),
Substituindo
ou usando a forma com
(Passo 7), obtemos também
O sinal negativo indica que a força aponta para o centro — é centrípeta. Assim mostramos a expressão pedida em (b).
Passo 9
Resumo rápido das derivações (como lembrar na prova).
- Escreva
e lembre que, para constante, . - Use
para achar . - Logo
. - Diferencie
e, para MCU ( ), pegue . - Aplique
para obter a força centrípeta.
Boa dica: na prova, basta lembrar quee ; isso resolve a maior parte dos exercícios rápidos de MCU.
Resposta
a.
b.
b.