Questão 05 - Acima de 882^{\circ} \mathrm{C}, o titânio tem estrutura cristalina CCC, com a =0,332 \mathrm{~nm}. Abaixo desta temperatura, ele se organiza numa estrutura HC, com a =0,2978 \mathrm{~nm} e \mathrm{c}= 0,4735. Determine a variação percentual de volume quando o titânio CCC se transforma em titânio HC. Ocorre retração ou expansão?
\left.\Delta \mathrm{V}=\left(\mathrm{V}_{\mathrm{HC}}-\mathrm{V}_{\mathrm{CcC}}\right) / \mathrm{V}_{\mathrm{CCC}}\right)^{*} 100

Passo 1

O enunciado dá os parâmetros das redes cristalinas do titânio nos dois arranjos e pede a variação percentual do volume ao passar de CCC para HC. Dados fornecidos:
  • Para titânio CCC: a_{\mathrm{CCC}}=0,332\\ \mathrm{nm}.
  • Para titânio HC: a_{\mathrm{HC}}=0,2978\\ \mathrm{nm} e c_{\mathrm{HC}}=0,4735\\ \mathrm{nm}.
A pergunta é calcular
\Delta V = \frac{V_{\mathrm{HC}}-V_{\mathrm{CCC}}}{V_{\mathrm{CCC}}}\times 100,
e dizer se ocorre retração (volume diminui) ou expansão (volume aumenta).

Passo 2

Volume da célula unitária da estrutura cúbica (CCC). Explicação rápida: para uma rede cúbica a aresta vale a e a célula unitária é um cubo de aresta a, então o volume da célula é o volume do cubo:
V_{\mathrm{CCC}} = a_{\mathrm{CCC}}^{3}.
Calculemos passo a passo:
a_{\mathrm{CCC}}^{2} = (0,332)^{2} = 0,110224\\ \mathrm{nm}^{2},
V_{\mathrm{CCC}} = 0,110224\times 0,332 = 0,036594368\\ \mathrm{nm}^{3}.

Passo 3

Volume da célula unitária da estrutura hexagonal (HC). Explicação: a célula hexagonal tem base um paralelogramo formado por um hexágono regular dividido; a área da base (plano ab) é \dfrac{\sqrt{3}}{2}a^{2} e a altura da célula é c. Portanto
V_{\mathrm{HC}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,a_{\mathrm{HC}}^{2}\,c_{\mathrm{HC}}.
Calculemos passo a passo:
a_{\mathrm{HC}}^{2}=(0,2978)^{2}=0,08868484\\ \mathrm{nm}^{2},
a_{\mathrm{HC}}^{2}\,c_{\mathrm{HC}}=0,08868484\times 0,4735 = 0,04199227174\\ \mathrm{nm}^{3},
\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866025404,\quad\text{logo}
V_{\mathrm{HC}}=0,866025404\times 0,04199227174 = 0,03636637409\\ \mathrm{nm}^{3}.

Passo 4

Agora calculamos a variação percentual usando a fórmula pedida. Primeiro a diferença absoluta:
V_{\mathrm{HC}}-V_{\mathrm{CCC}}=0,03636637409-0,036594368 = -0,00022799391\\ \mathrm{nm}^{3}.
A variação relativa e em porcentagem:
\Delta V = \frac{-0,00022799391}{0,036594368}\times 100 = -0,623\%\\ \text{(aprox.)}.
Interpretação: o sinal negativo indica que o volume diminui — ou seja, ocorre retração ao passar de CCC para HC.

Passo 5

Resumo numérico e arredondamento: os volumes das células unitárias ficaram muito próximos, e a diferença relativa é pequena (da ordem de 10^{-3}), mas suficiente para indicar retração de aproximadamente 0,62\%.

Resposta

\Delta V \approx -0,623\% (retração)

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