Em um reator industrial foram misturados 250,0 \mathrm{~L} de solução 50 \mathrm{mg} \mathrm{L}^{-1} de \mathrm{MgCl}_{2} com 300 L de solução 450 \mathrm{mg} \mathrm{L}^{-1} \mathrm{~K}_{2} \mathrm{SO}_{4} e 5,0 \mathrm{~L} de \mathrm{HCl} 30 \% \mathrm{~m} / \mathrm{m} com densidade 1,1 \mathrm{g} \mathrm{cm}^{-3}. Desprezando reações de hidrólise, calcule o pH da solução resultante:
a) desprezando a força iônica
b) considerando a força iônica pH=-Log a a=[H+]coef

Passo 1

O que o exercício pede:
  • Calcular o pH da solução resultante da mistura, em duas hipóteses:
    • (a) desprezando a força iônica (ou seja, usando apenas a concentração molar de \mathrm{H^+});
    • (b) considerando a força iônica, isto é, calculando a atividade de \mathrm{H^+} e usando \mathrm{pH} = -\log a_{\mathrm{H^+}}.
Dados fornecidos (vou listar exatamente os números do enunciado):
  • Volume de solução de \mathrm{MgCl_2}: 250{,}0\\ \mathrm{L} com concentração 50\\ \mathrm{mg\\ L^{-1}} de \mathrm{MgCl_2}.
  • Volume de solução de \mathrm{K_2SO_4}: 300\\ \mathrm{L} com concentração 450\\ \mathrm{mg\\ L^{-1}}.
  • Volume de solução de \mathrm{HCl}: 5{,}0\\ \mathrm{L}, concentração 30\%\\ \mathrm{m/m}, densidade 1{,}1\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}.
  • Desprezar reações de hidrólise (logo, as sais e o ácido são considerados totalmente dissociados).
  • Temperatura implícita: 25^\circ\mathrm{C} (usarei constantes de atividade típicas para 25^\circ\mathrm{C}).

Passo 2

Transformar todas as informações em número de mols (passo obrigatório para depois obter concentrações molares na mistura).
  1. \mathrm{MgCl_2}:
  • Concentração: 50\\ \mathrm{mg\\ L^{-1}} = 0{,}050\\ \mathrm{g\\ L^{-1}}.
  • Massa total em 250{,}0\\ \mathrm{L}:
\text{m}_{\mathrm{MgCl_2}} = 0{,}050\\ \mathrm{g\\ L^{-1}}\times 250{,}0\\ \mathrm{L} = 12{,}5\\ \mathrm{g}.
  • Massa molar aproximada: M_{\mathrm{MgCl_2}} = 24{,}305 + 2\times35{,}453 \approx 95{,}21\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
  • Mols:
n_{\mathrm{MgCl_2}}=\frac{12{,}5}{95{,}21}\approx 0{,}1313\\ \mathrm{mol}.
  1. \mathrm{K_2SO_4}:
  • Concentração: 450\\ \mathrm{mg\\ L^{-1}} = 0{,}450\\ \mathrm{g\\ L^{-1}}.
  • Massa total em 300\\ \mathrm{L}:
\text{m}_{\mathrm{K_2SO_4}} = 0{,}450\\ \mathrm{g\\ L^{-1}}\times 300\\ \mathrm{L} = 135{,}0\\ \mathrm{g}.
  • Massa molar aproximada: M_{\mathrm{K_2SO_4}} = 2\times39{,}098 + 32{,}06 + 4\times16 \approx 174{,}26\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
  • Mols:
n_{\mathrm{K_2SO_4}}=\frac{135{,}0}{174{,}26}\approx 0{,}7748\\ \mathrm{mol}.
  1. \mathrm{HCl} (solução 30\% m/m, \rho=1{,}1\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}=1{,}1\\ \mathrm{g\\ mL^{-1}}=1100\\ \mathrm{g\\ L^{-1}}):
  • Massa total da solução em 5{,}0\\ \mathrm{L}:
\text{m}_{\text{sol}} = 1100\\ \mathrm{g\\ L^{-1}} \times 5{,}0\\ \mathrm{L} = 5500\\ \mathrm{g}.
  • Massa de \mathrm{HCl}: 30\% de 5500\\ \mathrm{g}:
\text{m}_{\mathrm{HCl}} = 0{,}30\times 5500 = 1650\\ \mathrm{g}.
  • Massa molar \mathrm{HCl}: 36{,}46\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}.
  • Mols:
n_{\mathrm{HCl}}=\frac{1650}{36{,}46}\approx 45{,}27\\ \mathrm{mol}.
Volume total da mistura (assumo soma de volumes indicada no enunciado):
V_{\text{total}} = 250{,}0 + 300 + 5{,}0 = 555{,}0\\ \mathrm{L}.

Passo 3

Parte (a): desprezando a força iônica — usar apenas a concentração molar de \mathrm{H^+} proveniente de \mathrm{HCl} (ácido forte, dissociação completa).
Concentração molar de \mathrm{H^+} após mistura:
[\mathrm{H^+}] = \frac{n_{\mathrm{HCl}}}{V_{\text{total}}} = \frac{45{,}27}{555{,}0}\approx 0{,}08158\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
Cálculo do pH (definição usual, quando se usa concentração direta):
\mathrm{pH} = -\log [\mathrm{H^+}] = -\log(0{,}08158)\approx 1{,}09.
Pequeno comentário didático: aqui estou usando que \mathrm{HCl} é totalmente dissociado e que atividade ≈ concentração (hipótese que a parte (a) pede). Pronto — essa é a resposta da parte (a).

Passo 4

Para a parte (b) precisamos calcular a força iônica \,I e, a partir dela, a atividade de \mathrm{H^+}:
  • Definição de força iônica:
I=\tfrac{1}{2}\sum_i c_i z_i^2,
onde c_i é a concentração molar do íon i (em \mathrm{mol\\ L^{-1}}) e z_i sua carga.
Primeiro obtenha as concentrações molares dos íons presentes (considerando dissociação completa):
  • Dissociação de \mathrm{MgCl_2}: cada mol fornece 1 mol \mathrm{Mg^{2+}} e 2 mol \mathrm{Cl^-}.
    • n_{\mathrm{Mg^{2+}}}=0{,}1313\\ \mathrm{mol}.
    • n_{\mathrm{Cl^- \\ (do\\ MgCl_2)}}=2\times 0{,}1313=0{,}2626\\ \mathrm{mol}.
  • Dissociação de \mathrm{K_2SO_4}: cada mol fornece 2 mol \mathrm{K^+} e 1 mol \mathrm{SO_4^{2-}}.
    • n_{\mathrm{K^+}}=2\times 0{,}7748=1{,}5496\\ \mathrm{mol}.
    • n_{\mathrm{SO_4^{2-}}}=0{,}7748\\ \mathrm{mol}.
  • \mathrm{HCl} fornece n_{\mathrm{H^+}}=45{,}27\\ \mathrm{mol} e n_{\mathrm{Cl^- \\ (do\\ HCl)}}=45{,}27\\ \mathrm{mol}.
Somando os cloretos:
n_{\mathrm{Cl^- , total}}=0{,}2626 + 45{,}27 = 45{,}5326\\ \mathrm{mol}.
Agora concentracões molares dividindo por V_{\text{total}}=555{,}0\\ \mathrm{L}:
[\mathrm{H^+}] = \frac{45{,}27}{555{,}0}\approx 0{,}08158\\ \mathrm{M},
[\mathrm{Cl^-}] = \frac{45{,}5326}{555{,}0}\approx 0{,}08205\\ \mathrm{M},
[\mathrm{Mg^{2+}}] = \frac{0{,}1313}{555{,}0}\approx 0{,}0002367\\ \mathrm{M},
[\mathrm{K^+}] = \frac{1{,}5496}{555{,}0}\approx 0{,}002792\\ \mathrm{M},
[\mathrm{SO_4^{2-}}] = \frac{0{,}7748}{555{,}0}\approx 0{,}001396\\ \mathrm{M}.
Observação (checagem rápida): a neutralidade elétrica aproximadamente se mantém (soma cargas positivas ≈ soma cargas negativas), o que indica que os números estão consistentes.

Passo 5

Calcular a força iônica I com os valores acima:
I=\tfrac{1}{2}\big( [\mathrm{H^+}]\cdot 1^2 + [\mathrm{Cl^-}]\cdot 1^2 + [\mathrm{K^+}]\cdot 1^2 + [\mathrm{Mg^{2+}}]\cdot 2^2 + [\mathrm{SO_4^{2-}}]\cdot 2^2 \big).
Substituindo números:
I=\tfrac{1}{2}\big(0{,}08158 + 0{,}08205 + 0{,}002792 + 0{,}0002367\times 4 + 0{,}001396\times 4\big).
Calcule cada termo:
0{,}0002367\times 4 = 0{,}0009468,\qquad 0{,}001396\times 4 = 0{,}005584.
Soma interna:
S = 0{,}08158 + 0{,}08205 + 0{,}002792 + 0{,}0009468 + 0{,}005584 \approx 0{,}172953.
Logo
I = \tfrac{1}{2}\times 0{,}172953 \approx 0{,}08648\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
Comentário didático: I\approx 0{,}086 é um valor moderado (não é extremamente baixo), então é apropriado usar uma expressão razoável para o coeficiente de atividade — o modelo de Debye–Hückel simples (limiting law) fica menos preciso; usarei a equação de Davies, indicada para I até cerca de 0{,}5\\ \mathrm{M}.

Passo 6

Cálculo do coeficiente de atividade \gamma_{\mathrm{H^+}} usando a equação de Davies (válida em água a 25^\circ\mathrm{C}):
\log_{10}\gamma_i = -0{,}509\, z_i^2\!\left(\frac{\sqrt{I}}{1+\sqrt{I}} - 0{,}3\,I\right),
onde z_i é a carga do íon i (para \mathrm{H^+}, z=+1). Constante 0{,}509 é o valor de A em água a 25^\circ\mathrm{C} e a fórmula da Davies inclui a correção -0{,}3I.
Calcule \sqrt{I}:
\sqrt{I} = \sqrt{0{,}08648}\approx 0{,}2941.
Calcule o argumento:
\frac{\sqrt{I}}{1+\sqrt{I}} = \frac{0{,}2941}{1+0{,}2941} \approx 0{,}2273,
0{,}3\,I = 0{,}3\times 0{,}08648 \approx 0{,}02594.
Diferença:
\frac{\sqrt{I}}{1+\sqrt{I}} - 0{,}3I \approx 0{,}2273 - 0{,}02594 = 0{,}20136.
Agora:
\log_{10}\gamma_{\mathrm{H^+}} = -0{,}509\times 1^2 \times 0{,}20136 \approx -0{,}1025.
Logo
\gamma_{\mathrm{H^+}} = 10^{-0{,}1025}\approx 0{,}79.
Explicando em palavras: \gamma_{\mathrm{H^+}}<1 porque íons em solução interagem entre si; isso reduz a atividade efetiva do próton em comparação com a sua concentração.

Passo 7

Calcular a atividade e o pH corrigido:
  • Atividade do próton:
a_{\mathrm{H^+}} = \gamma_{\mathrm{H^+}}[\mathrm{H^+}] \approx 0{,}79\times 0{,}08158 \approx 0{,}0644\\ \mathrm{mol\\ L^{-1}}.
  • pH usando atividade:
\mathrm{pH} = -\log a_{\mathrm{H^+}} = -\log(0{,}0644)\approx 1{,}19.
Pequena interpretação: ao considerar atividade, o pH aumenta um pouco (de 1{,}09 para 1{,}19) porque o coeficiente de atividade reduz a atividade do próton em relação à concentração.

Passo 8

Resumo das hipóteses e limitações (breve, para você não se assustar na prova):
  • Foi assumida dissociação completa de \mathrm{HCl}, \mathrm{MgCl_2} e \mathrm{K_2SO_4} (enunciado pede desprezar hidrólise).
  • Usei a equação de Davies para \gamma (adequada para I até \sim 0{,}5\\ \mathrm{M}); a equação é simples, razoável e frequentemente pedida em provas.
  • Valores numéricos arredondados conservadoramente; resultado final com duas casas decimais é apropriado para pH.
Força aí — você já fez a parte chata de transformar unidades e calcular força iônica; isso é exatamente o tipo de exercício que aparece em prova. Vai dar certo!

Resposta

\text{(a)}\\ \mathrm{pH} = 1{,}09
\text{(b)}\\ \mathrm{pH} = 1{,}19

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