Questão 05-) Quais deveriam ser os resultados do experimento de partículas alfa caso uma liga de prata fosse utilizada no lugar da lâmina de ouro?.

Passo 1

O enunciado pede que eu diga quais seriam os resultados observados no experimento de partículas alfa se, em vez de uma lâmina de ouro, fosse usada uma lâmina feita de uma liga de prata. Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • Substituição da lâmina de ouro por uma lâmina de liga de prata (não foram fornecidos espessura nem composição exata da liga).
  • A fonte de partículas alfa continua a mesma (mesma energia das partículas alfa).
    O que preciso responder: prever qualitativamente e quantitativamente como mudaria o espalhamento das partículas alfa (especialmente espalhamentos em grandes ângulos / retroespalhamento) quando o alvo for prata em vez de ouro.

Passo 2

Resumo do que normalmente se observa no experimento de Rutherford (ponto de partida para comparar):
  • A maioria das partículas alfa atravessa a lâmina praticamente sem desvio.
  • Um pequeno número sofre pequenos desvios angulares.
  • Um número muito pequeno é fortemente desviado ou retroespalhado (grandes ângulos).
    Essas observações resultam do espalhamento Coulombiano pelas cargas dos núcleos do metal. Para comparar prata vs ouro precisamos ver como o espalhamento depende das propriedades do átomo alvo (número atômico, densidade, massa atômica, etc.).

Passo 3

Fórmula que descreve o espalhamento de Rutherford (diferença importante: aqui explico e defino cada símbolo).
A seção eficaz diferencial (densidade de probabilidade por ângulo) do espalhamento Coulombiano é dada por
\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{Z_1 Z_2 e^2}{16\pi\varepsilon_0 E}\right)^{\!2} \frac{1}{\sin^{4}\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr)}.
Onde:
  • \dfrac{d\sigma}{d\Omega} é a probabilidade de espalhar por unidade de ângulo sólido (medida da “fortuna” de a partícula ser desviada para aquele ângulo).
  • Z_1 é o número atômico da partícula incidente (para partículas alfa, Z_1=2).
  • Z_2 é o número atômico do núcleo alvo (para prata Z_{\text{Ag}}=47, para ouro Z_{\text{Au}}=79).
  • e é a carga elementar.
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
  • E é a energia cinética da partícula alfa.
  • \theta é o ângulo de espalhamento.
    Observações importantes desta fórmula:
  • A dependência angular é fortemente concentrada em ângulos pequenos por causa do fator \sin^{-4}\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr).
  • Para comparar dois alvos com a mesma energia de alfa e mesma geometria, a parte que diferencia os alvos é o fator (Z_1 Z_2)^2 multiplicado pelo número de núcleos por unidade de área do alvo. Como Z_1 (a alfa) é a mesma, o espalhamento por núcleo escala como Z_2^{2}.

Passo 4

Comparação do fator elétrico entre prata e ouro (efeito dominante).
Calculo do quão menor seria o espalhamento por núcleo ao usar prata em vez de ouro, pelo fator Z^2:
\left(\frac{Z_{\text{Ag}}}{Z_{\text{Au}}}\right)^{2} = \left(\frac{47}{79}\right)^{2} \approx \left(0{,}5949367\right)^{2} \approx 0{,}3539.
Portanto, por núcleo, o efeito Coulombiano (probabilidade de espalhamento) com prata seria cerca de 35{,}4\% do observado com ouro.

Passo 5

Contando também o número de átomos por unidade de área (se a lâmina tiver a mesma espessura física).
A densidade de núcleos por volume (mol/cm³) é dada por \dfrac{\rho}{A} (onde \rho é densidade em g/cm³ e A é massa atômica em g/mol), e o número de núcleos por área para uma lâmina de espessura t vale \dfrac{\rho N_A}{A}\,t, com N_A constante de Avogadro. Ao comparar prata e ouro, o fator relevante é a razão
\frac{\rho_{\text{Ag}}/A_{\text{Ag}}}{\rho_{\text{Au}}/A_{\text{Au}}}.
Usando valores tabela (tomados como típicos):
  • \rho_{\text{Ag}} = 10{,}49\\ \text{g/cm}^3, A_{\text{Ag}} \approx 107{,}87\\ \text{g/mol}.
  • \rho_{\text{Au}} = 19{,}32\\ \text{g/cm}^3, A_{\text{Au}} \approx 196{,}97\\ \text{g/mol}.
    Calculo:
\frac{\rho_{\text{Ag}}}{A_{\text{Ag}}} \approx \frac{10{,}49}{107{,}87} \approx 0{,}09725, \qquad \frac{\rho_{\text{Au}}}{A_{\text{Au}}} \approx \frac{19{,}32}{196{,}97} \approx 0{,}09808,
\text{razão} \approx \frac{0{,}09725}{0{,}09808} \approx 0{,}9916.ã
Conclusão: para a mesma espessura física a prata teria praticamente o mesmo número de núcleos por área que o ouro (diferença ≈ 0{,}8\%); esse efeito é pequeno comparado ao fator Z^2.

Passo 6

Combinação dos efeitos: probabilidade total de espalhamento numa dada direção
A probabilidade observada em um detector num ângulo \theta é proporcional ao produto do número de núcleos por área e à seção eficaz por núcleo. Assim a razão prata/ouro para contagens em um mesmo ângulo (mesma espessura) é aproximadamente
\left(\frac{Z_{\text{Ag}}}{Z_{\text{Au}}}\right)^{2}\times \frac{\rho_{\text{Ag}}/A_{\text{Ag}}}{\rho_{\text{Au}}/A_{\text{Au}}} \approx 0{,}3539\times 0{,}9916 \approx 0{,}351.
Ou seja, em média teria cerca de 35{,}1\% das contagens por ângulo que se veriam com ouro — perto de um terço.

Passo 7

Implicações práticas e observações qualitativas esperadas no experimento:
  • A forma da distribuição angular continua dada por \sin^{-4}\!\bigl(\tfrac{\theta}{2}\bigr): muitos eventos em pequenos ângulos, poucos em ângulos grandes. Essa dependência angular não muda de qualitativa ao trocar material (é a mesma física Coulombiana).
  • O número absoluto de partículas espalhadas para grandes ângulos (incluindo retroespalhamento) seria muito menor com prata: aproximadamente 0{,}35 vezes o observado com ouro.
  • Em particular, o retroespalhamento (ângulos próximos a 180^\circ) — que foi a observação chocante no experimento original — ocorreria, mas com frequência significativamente reduzida (cerca de um terço).
  • Efeitos secundários: se a “liga de prata” contiver outros elementos (elementos mais leves ou mais pesados), os resultados se ajustariam conforme a composição média (o cálculo acima usa prata pura). A espessura real da lâmina e possíveis rugosidades também alteram contagens absolutas; mas para comparação direta, assumimos lâminas de mesma espessura/areal density.
  • A massa nuclear maior do ouro versus prata só altera levemente a transferência de momento (recuo); para núcleos tão pesados a aproximação de alvo fixo é válida, então não muda muito.

Passo 8

Resumo final — frase curta, direta e motivadora:
  • Trocar ouro por prata manteria a mesma forma angular do espalhamento, mas reduziria fortemente o número de deflexões grandes: esperaria-se aproximadamente um terço das contagens de grandes ângulos (incluindo retroespalhamento) em comparação com o alvo de ouro. Isso explica por que Rutherford escolheu metais de alto Z (como o ouro): para maximizar a chance de descobrir núcleos fortemente carregados.

Resposta

A distribuição angular seria qualitativamente igual, porém a frequência de espalhamento em grandes ângulos (incluindo retroespalhamento) seria menor — aproximadamente 0{,}35 vezes a observada com ouro (≈ 35{,}4\%), devido ao fator Z^{2} com Z_{\text{Ag}}=47 e Z_{\text{Au}}=79.

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