Questão 05 ( 3,0 Pontos) - Partindo do cenário de que existe uma comporta a qual é usada para controlar a vazão de água através de uma barragem. Algumas informações são essenciais para a solução deste problema, altura a montante, 20 metros, altura a jusante 3 metros, altura da comporta, 16 metros. Considere a densidade da água, 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} 3. Calcule a vazão de água a jusante e o valor da força hidrostática atuante sobre a comporta.

Passo 1

Dados fornecidos e o que o problema pede:
  • Altura do espelho d’água a montante: 20\\ \mathrm{m}.
  • Altura do espelho d’água a jusante: 3\\ \mathrm{m}.
  • Altura da comporta (abertura vertical pela qual a água escoa): 16\\ \mathrm{m}.
  • Densidade da água: \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Pedidos: (1) calcular a vazão de água a jusante e (2) calcular a força hidrostática atuante sobre a comporta.
    Informação importante (não fornecida explicitamente no enunciado): a largura da comporta não foi dada. Para obter resultados numéricos devemos adotar uma referência — aqui vou calcular os resultados por unidade de largura da comporta (ou seja, assumo largura =1\\ \mathrm{m}). Essa é uma hipótese natural quando só se dá altura da comporta. Todas as respostas serão, portanto, “por metro de largura”.

Passo 2

Como vamos calcular a vazão — ideia física e fórmula usada:
  • Quando há dois grandes reservatórios (montante e jusante) com superfícies livres a alturas diferentes e a água passa por uma abertura grande, uma aproximação usual é usar a equação de Torricelli (resultado simples da equação de Bernoulli entre as superfícies livres), que diz que a velocidade típica do jato devido à diferença de carga é
v = \sqrt{2 g \Delta H}
onde g é a aceleração da gravidade e \Delta H é a diferença de níveis entre os espelho d’água a montante e a jusante. Nesta resolução vamos usar g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}} e \Delta H = 20 - 3 = 17\\ \mathrm{m}.
  • A vazão Q atravessando a comporta é o produto da área da abertura A pela velocidade média v:
Q = A \, v.
  • Aqui a área da abertura (por unidade de largura) é A = \text{altura} \times 1\\ \mathrm{m} = 16\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Observação didática: essa é uma aproximação ideal (coeficiente de descarga C_d=1). Em problemas reais costuma-se introduzir um C_d<1 para perdas, mas o enunciado não forneceu C_d, então usamos o caso ideal.

Passo 3

Cálculo passo a passo da velocidade v:
\Delta H = 17\\ \mathrm{m}
v = \sqrt{2 \cdot 9,81 \cdot 17}
Calcule o produto dentro da raiz:
2\cdot 9,81 \cdot 17 = 333{,}54
Agora a raiz:
v = \sqrt{333{,}54} \approx 18{,}27\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Cálculo da vazão Q por metro de largura:
A = 16\\ \mathrm{m^{2}}\quad(\text{altura }16\\ \mathrm{m}\times\text{largura }1\\ \mathrm{m})
Q = A\,v = 16 \cdot 18{,}27 \approx 292{,}35\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Portanto a vazão estimada a jusante (por metro de largura da comporta) é Q\approx 292{,}35\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 5

Como vamos calcular a força hidrostática — conceito e estratégia:
  • A força hidrostática sobre uma superfície plana vertical é a integral da pressão sobre a área. A pressão em uma profundidade h abaixo da superfície livre é dada por
p = \rho g h,
onde h é a distância vertical entre a superfície livre do lado considerado e o ponto da superfície da comporta. No nosso caso temos água dos dois lados da comporta com níveis diferentes, então a pressão líquida que “puxa” a comporta é a diferença entre as pressões do lado montante e do lado jusante em cada altura.
  • Vamos orientar um eixo vertical y medindo a partir do fundo da comporta ( y=0 no fundo, y aumenta para cima até y=16\\ \mathrm{m} no topo da comporta). As superfícies livres estão a alturas relativas (ao fundo) H_{\mathrm{mont}}=20\\ \mathrm{m} e H_{\mathrm{jus}}=3\\ \mathrm{m}.
  • Para cada y (entre 0 e 16), a pressão no lado montante é p_{\mathrm{m}}(y)=\rho g (H_{\mathrm{mont}}-y).
  • No lado jusante a pressão é p_{\mathrm{j}}(y)=\rho g (H_{\mathrm{jus}}-y) quando y\le H_{\mathrm{jus}} (ou seja, até y=3\\ \mathrm{m}); para y>3\\ \mathrm{m} a pressão do lado jusante é a atmosférica (tomada como zero gage), então p_{\mathrm{j}}(y)=0 para y>3\\ \mathrm{m}.
  • A pressão líquida agindo para empurrar a comporta do lado montante para o lado jusante é p_{\mathrm{net}}(y)=p_{\mathrm{m}}(y)-p_{\mathrm{j}}(y).
  • A força total por unidade de largura é
F = \int_{0}^{16} p_{\mathrm{net}}(y)\, dy.

Passo 6

Escrevendo explicitamente as expressões de pressão e a pressão líquida:
  • Para 0 \le y \le 3:
p_{\mathrm{m}}(y)=\rho g (20 - y)
p_{\mathrm{j}}(y)=\rho g (3 - y)
p_{\mathrm{net}}(y)=\rho g \bigl((20 - y)-(3 - y)\bigr)=\rho g \cdot 17.
  • Para 3 < y \le 16:
p_{\mathrm{m}}(y)=\rho g (20 - y)
p_{\mathrm{j}}(y)=0
p_{\mathrm{net}}(y)=\rho g (20 - y).

Passo 7

Montamos a integral por partes conforme as duas regiões:
F = \int_{0}^{3} \rho g \cdot 17 \, dy \;+\; \int_{3}^{16} \rho g (20 - y)\, dy.
Fatorando \rho g:
F = \rho g \left[ \int_{0}^{3} 17\, dy \;+\; \int_{3}^{16} (20 - y)\, dy \right].

Passo 8

Calcule as integrais internas passo a passo:
  • Primeira integral:
\int_{0}^{3} 17\, dy = 17\cdot 3 = 51.
  • Segunda integral:
\int_{3}^{16} (20 - y)\, dy = \bigl[20y - \tfrac{y^{2}}{2}\bigr]_{3}^{16}.
Calcule os termos:
20\cdot 16 - \tfrac{16^{2}}{2} = 320 - 128 = 192,
20\cdot 3 - \tfrac{3^{2}}{2} = 60 - 4{,}5 = 55{,}5.
Portanto a segunda integral é
192 - 55{,}5 = 136{,}5.
Somando as duas integrais:
51 + 136{,}5 = 187{,}5.

Passo 9

Multiplicando por \rho g para obter a força total (por metro de largura):
F = \rho g \cdot 187{,}5 = 1000 \cdot 9{,}81 \cdot 187{,}5.
Calcule:
F = 1{,}839{,}375\\ \mathrm{N} \approx 1{,}84\times 10^{6}\\ \mathrm{N}.
Em unidades mais usuais:
F \approx 1839{,}4\\ \mathrm{kN}\\ (\text{por metro de largura}).

Resposta

Vazão por metro de largura: Q \approx 292{,}35\\ \mathrm{m^{3}/s}
Força hidrostática por metro de largura: F \approx 1{,}839{,}375\\ \mathrm{N} (aprox. 1{,}84\times10^{6}\\ \mathrm{N}).

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