Questão 05 ( 3,0 Pontos) - Partindo do cenário de que existe uma comporta a qual é usada para controlar a vazão de água através de uma barragem. Algumas informações são essenciais para a solução deste problema, altura a montante, 20 metros, altura a jusante 3 metros, altura da comporta, 16 metros. Considere a densidade da água,
. Calcule a vazão de água a jusante e o valor da força hidrostática atuante sobre a comporta.
Passo 1
Dados fornecidos e o que o problema pede:
- Altura do espelho d’água a montante:
. - Altura do espelho d’água a jusante:
. - Altura da comporta (abertura vertical pela qual a água escoa):
. - Densidade da água:
. - Pedidos: (1) calcular a vazão de água a jusante e (2) calcular a força hidrostática atuante sobre a comporta.
Informação importante (não fornecida explicitamente no enunciado): a largura da comporta não foi dada. Para obter resultados numéricos devemos adotar uma referência — aqui vou calcular os resultados por unidade de largura da comporta (ou seja, assumo largura). Essa é uma hipótese natural quando só se dá altura da comporta. Todas as respostas serão, portanto, “por metro de largura”.
Passo 2
Como vamos calcular a vazão — ideia física e fórmula usada:
- Quando há dois grandes reservatórios (montante e jusante) com superfícies livres a alturas diferentes e a água passa por uma abertura grande, uma aproximação usual é usar a equação de Torricelli (resultado simples da equação de Bernoulli entre as superfícies livres), que diz que a velocidade típica do jato devido à diferença de carga é
onde
é a aceleração da gravidade e
é a diferença de níveis entre os espelho d’água a montante e a jusante. Nesta resolução vamos usar
e
.
- A vazão
atravessando a comporta é o produto da área da abertura pela velocidade média :
- Aqui a área da abertura (por unidade de largura) é
. - Observação didática: essa é uma aproximação ideal (coeficiente de descarga
). Em problemas reais costuma-se introduzir um para perdas, mas o enunciado não forneceu , então usamos o caso ideal.
Passo 3
Cálculo passo a passo da velocidade
:
Calcule o produto dentro da raiz:
Agora a raiz:
Passo 4
Cálculo da vazão
por metro de largura:
Portanto a vazão estimada a jusante (por metro de largura da comporta) é
.
Passo 5
Como vamos calcular a força hidrostática — conceito e estratégia:
- A força hidrostática sobre uma superfície plana vertical é a integral da pressão sobre a área. A pressão em uma profundidade
abaixo da superfície livre é dada por
onde
é a distância vertical entre a superfície livre do lado considerado e o ponto da superfície da comporta. No nosso caso temos água dos dois lados da comporta com níveis diferentes, então a pressão líquida que “puxa” a comporta é a diferença entre as pressões do lado montante e do lado jusante em cada altura.
- Vamos orientar um eixo vertical
medindo a partir do fundo da comporta ( no fundo, aumenta para cima até no topo da comporta). As superfícies livres estão a alturas relativas (ao fundo) e . - Para cada
(entre e ), a pressão no lado montante é . - No lado jusante a pressão é
quando (ou seja, até ); para a pressão do lado jusante é a atmosférica (tomada como zero gage), então para . - A pressão líquida agindo para empurrar a comporta do lado montante para o lado jusante é
. - A força total por unidade de largura é
Passo 6
Escrevendo explicitamente as expressões de pressão e a pressão líquida:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Montamos a integral por partes conforme as duas regiões:
Fatorando
:
Passo 8
Calcule as integrais internas passo a passo:
- Primeira integral:
- Segunda integral:
Calcule os termos:
Portanto a segunda integral é
Somando as duas integrais:
Passo 9
Multiplicando por
para obter a força total (por metro de largura):
Calcule:
Em unidades mais usuais:
Resposta
Vazão por metro de largura:
Força hidrostática por metro de largura: (aprox.
).
Força hidrostática por metro de largura: