Questão 06 ( 3,0 Pontos) - Dimensione um tubo de venturi de acordo com as seguintes informações:
  • Escoamento de água;
  • Regime permanente;
  • Escoamento incompressível,
  • Razão entre áreas 10 ;
  • Diâmetro 01: 10 cm ;
  • Vazão de 10 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede para “dimensionar um tubo de Venturi” com as informações abaixo. Vou deixar explícito o que vou determinar (tudo isso é parte do “dimensionamento”):
  • Dados fornecidos:
    \dot m = 10\\ \mathrm{kg/s} (vazão mássica), água (fluido), regime permanente, incompressível; razão entre áreas igual a 10; diâmetro da seção 1 D_1 = 10\\ \mathrm{cm}.
  • Perguntas implícitas que vou responder: calcular a área da entrada \,A_1, a área da garganta \,A_2 (usando a razão das áreas), o diâmetro da garganta \,D_2, a vazão volumétrica Q, as velocidades em 1 e 2 ( V_1 e V_2) e a diferença de pressão entre as seções ( \Delta p = p_1-p_2) assumindo Bernoulli (sem perdas).

Passo 2

Calcular a área da seção 1 usando a fórmula da área do círculo. A fórmula é
A=\frac{\pi D^2}{4},
onde \,A é a área em \mathrm{m}^2 e \,D é o diâmetro em \mathrm{m}. Aqui \,D_1=10\\ \mathrm{cm}=0,10\\ \mathrm{m}. Logo,
A_1=\frac{\pi D_1^2}{4}=\frac{\pi(0,10)^2}{4}=\pi\cdot0,0025\approx7,85398\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2.
Explicando devagar: peguei o diâmetro em metros, eleva ao quadrado, multiplica por \pi e divide por 4. O resultado é a área da seção de entrada.

Passo 3

Usar a razão entre áreas para obter \,A_2. A razão dada é
\frac{A_1}{A_2}=10.
Portanto
A_2=\frac{A_1}{10}=\frac{7,85398\times10^{-3}}{10}=7,85398\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.
Interpretação prática: a garganta tem uma área 10 vezes menor que a entrada.

Passo 4

Determinar o diâmetro da garganta \,D_2 a partir de \,A_2. Usando novamente A=\frac{\pi D^2}{4}, isolamos D:
D_2=\sqrt{\frac{4A_2}{\pi}}.
Como \,A_2=A_1/10, também vale
D_2=\frac{D_1}{\sqrt{10}}.
Calculando numericamente,
D_2=\frac{0,10}{\sqrt{10}}\approx0,0316228\\ \mathrm{m}=3,16228\\ \mathrm{cm}.
Observação prática: ao reduzir a área em 10 vezes, o diâmetro reduz por um fator \sqrt{10}.

Passo 5

Converter a vazão mássica em vazão volumétrica. A relação é
\dot m=\rho Q,
onde \dot m é a vazão mássica ( \mathrm{kg/s}), \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^3}) e Q é a vazão volumétrica ( \mathrm{m^3/s}). Para água tomamos \rho\approx1000\\ \mathrm{kg/m^3}. Assim
Q=\frac{\dot m}{\rho}=\frac{10}{1000}=0,010\\ \mathrm{m^3/s}.
Explicando: dividir massas por densidade dá volume por segundo.

Passo 6

Calcular as velocidades usando a equação da continuidade (conservação de massa em regime permanente para fluido incompressível):
Q=A_1 V_1 = A_2 V_2.
Então
V_1=\frac{Q}{A_1},\qquad V_2=\frac{Q}{A_2}.
Usando os valores calculados:
V_1=\frac{0,010}{7,85398\times10^{-3}}\approx1,27324\\ \mathrm{m/s},
V_2=\frac{0,010}{7,85398\times10^{-4}}\approx12,7324\\ \mathrm{m/s}.
Observação útil: como A_2=A_1/10, então V_2=10\,V_1; isso simplifica checagens rápidas.

Passo 7

Calcular a diferença de pressão entre as seções usando Bernoulli (sem considerar perdas por atrito e sem variação de elevação). A forma usada é
p_1+\frac{1}{2}\rho V_1^2 = p_2+\frac{1}{2}\rho V_2^2.
Isolando \Delta p=p_1-p_2,
\Delta p = \frac{1}{2}\rho\left(V_2^2-V_1^2\right).
Explicando as variáveis: \,p_1,p_2 são pressões estáticas nas seções 1 e 2; \rho densidade; \,V_1,V_2 velocidades já calculadas. Substituindo \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e os valores de velocidades:
V_1^2\approx(1,27324)^2\approx1,62114\\ \mathrm{(m^2/s^2)},
V_2^2\approx(12,7324)^2\approx162,1139\\ \mathrm{(m^2/s^2)}.
Logo
\Delta p = \tfrac{1}{2}\cdot1000\cdot(162,1139-1,62114)\approx500\cdot160,4928\approx8,02464\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
Podemos também expressar em kPa:
\Delta p\approx80,25\\ \mathrm{kPa}.
Interpretação: a pressão na garganta é menor que na entrada por cerca de 80\\ \mathrm{kPa} se não houver perdas.

Passo 8

Comentário prático e checagem rápida: as velocidades obtidas ( V_2\approx12,7\\ \mathrm{m/s}) são razoáveis para água em conduções; caso fosse necessário projetar contra cavitação ou verificar perdas, deveríamos avaliar pressão absoluta na garganta e número de Reynolds para estimar atrito. Aqui, como o enunciado pediu o dimensionamento básico, os resultados acima (áreas, diâmetro, velocidades e \Delta p) são suficientes.

Resposta

A_1\approx7,85398\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2
A_2\approx7,85398\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2
D_2\approx0,0316228\\ \mathrm{m}\\ (=3,1623\\ \mathrm{cm})
Q=0,010\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}
V_1\approx1,27324\\ \mathrm{m/s}
V_2\approx12,7324\\ \mathrm{m/s}
\Delta p=p_1-p_2\approx8,0246\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}\\ ( \approx80,25\\ \mathrm{kPa})

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