Questão 06. Calcule a integral trigonométrica:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Devemos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que . - É uma integral indefinida, então a resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Estratégia útil: reduzir a potência do seno usando uma identidade trigonométrica que transforma
em uma combinação de funções cujas primitivas são diretas. A identidade fundamental que vamos usar vem da fórmula do cosseno de ângulo duplo.
Lembrete e derivação curta:
- A fórmula do cosseno de ângulo duplo é
- Como
, substituindo na fórmula do cosseno duplo obtemos
- Isolando
vem a identidade de redução de potência:
Aqui cada símbolo significa:
-
é a variável da função. -
é . -
é o cosseno do dobro de .
Passo 3
Aplicando a identidade ao integrando:
Posso separar o fator constante
e usar linearidade da integral (integral da soma é soma das integrais):
Passo 4
Agora distribuo a integral em duas:
A primeira integral é imediata:
Resta calcular
.
Passo 5
Calcular
. Uma forma direta é usar substituição simples: seja
, então
ou
. Assim
Voltando para
(ou seja,
):
Observação geral: isto equivale à fórmula
para constante
.
Passo 6
Substituindo o resultado de
em (Passo 4):
Posso simplificar o fator
:
Alternativa equivalente (usando
) é escrever a primitiva como
porque
.
Passo 7
Verificação rápida por derivação (checagem): derivando
temos
confirmando que a primitiva está correta.