Questão 06. Calcule a integral trigonométrica:
\int \operatorname{sen}^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen}^{2}x\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \operatorname{sen}^{2}x.
  • Devemos encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\operatorname{sen}^{2}x.
  • É uma integral indefinida, então a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Estratégia útil: reduzir a potência do seno usando uma identidade trigonométrica que transforma \operatorname{sen}^{2}x em uma combinação de funções cujas primitivas são diretas. A identidade fundamental que vamos usar vem da fórmula do cosseno de ângulo duplo.
Lembrete e derivação curta:
  • A fórmula do cosseno de ângulo duplo é
\cos(2x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x.
  • Como \cos^{2}x+\sin^{2}x=1, substituindo \cos^{2}x=1-\sin^{2}x na fórmula do cosseno duplo obtemos
\cos(2x)=(1-\sin^{2}x)-\sin^{2}x=1-2\sin^{2}x.
  • Isolando \sin^{2}x vem a identidade de redução de potência:
\sin^{2}x=\frac{1-\cos(2x)}{2}.
Aqui cada símbolo significa:
  • x é a variável da função.
  • \sin^{2}x é (\sin x)^{2}.
  • \cos(2x) é o cosseno do dobro de x.

Passo 3

Aplicando a identidade ao integrando:
\int \operatorname{sen}^{2}x\,dx=\int \frac{1-\cos(2x)}{2}\,dx.
Posso separar o fator constante 1/2 e usar linearidade da integral (integral da soma é soma das integrais):
\int \operatorname{sen}^{2}x\,dx=\frac{1}{2}\int\bigl(1-\cos(2x)\bigr)\,dx.

Passo 4

Agora distribuo a integral em duas:
\frac{1}{2}\int\bigl(1-\cos(2x)\bigr)\,dx=\frac{1}{2}\left(\int 1\,dx-\int \cos(2x)\,dx\right).
A primeira integral é imediata:
\int 1\,dx = x.
Resta calcular \int \cos(2x)\,dx.

Passo 5

Calcular \int \cos(2x)\,dx. Uma forma direta é usar substituição simples: seja u=2x, então du=2\,dx ou dx=\tfrac{1}{2}\,du. Assim
\int \cos(2x)\,dx=\int \cos(u)\cdot \tfrac{1}{2}\,du=\tfrac{1}{2}\int \cos(u)\,du=\tfrac{1}{2}\sin(u)+\text{const}.
Voltando para x (ou seja, u=2x):
\int \cos(2x)\,dx=\tfrac{1}{2}\sin(2x)+\text{const}.
Observação geral: isto equivale à fórmula \int \cos(kx)\,dx=\tfrac{1}{k}\sin(kx)+C para constante k\neq0.

Passo 6

Substituindo o resultado de \int \cos(2x)\,dx em (Passo 4):
\frac{1}{2}\left(x-\tfrac{1}{2}\sin(2x)\right)+C.
Posso simplificar o fator 1/2:
\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)+C.
Alternativa equivalente (usando \sin(2x)=2\sin x\cos x) é escrever a primitiva como
\frac{x}{2}-\frac{1}{2}\sin x\cos x + C,
porque -\tfrac{1}{4}\sin(2x)=-\tfrac{1}{4}\cdot 2\sin x\cos x=-\tfrac{1}{2}\sin x\cos x.

Passo 7

Verificação rápida por derivação (checagem): derivando
F(x)=\frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)
temos
F'(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot 2\cos(2x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}=\sin^{2}x,
confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{x}{2}-\frac{1}{4}\sin(2x)+C

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