onde u[n] é o degrau unitário (ou seja, u[n]=1 para n\ge0 e u[n]=0 para n<0).
O que se pede: calcular a transformada X(z) de x[n] e indicar a região de convergência (ROC).
Passo 2
Definição e ideia chave (explicação passo a passo). A transformada bilateral de Z de um sinal discreto x[n] é
X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,z^{-n},
onde z é uma variável complexa. Para sinais causais (multiplicados por u[n]) a soma fica a partir de n=0:
X(z)=\sum_{n=0}^{\infty} x[n]\,z^{-n}.
Ferramenta essencial: soma da série geométrica. Se |r|<1, então
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Aplicaremos isso repetidas vezes, com r sendo uma combinação de constantes e z^{-1}. A condição de convergência será |r|<1, que vira uma condição sobre |z|.
Passo 3
Transformada do primeiro termo. Considere x_1[n]=7\left(\tfrac{1}{3}\right)^n u[n]. Então
Aqui o termo geométrico é r=\tfrac{1}{3}z^{-1}. Usa-se a soma geométrica se |r|<1, isto é \left|\tfrac{1}{3}z^{-1}\right|<1 que equivale a |z|> \tfrac{1}{3}. Aplicando a fórmula,
X_1(z)=7\cdot\frac{1}{1-\tfrac{1}{3}z^{-1}}.
É comum manipular para uma forma em termos de z (multiplicando numerador e denominador por z):
X_1(z)=7\cdot\frac{z}{z-\tfrac{1}{3}}.
Passo 4
Transformada do segundo termo. Considere x_2[n]=-6\left(\tfrac{1}{2}\right)^n u[n]. Analogamente,