Questão 06 - Calcule a transformada Z para o sinal.
x[n]=7\left(\frac{1}{3}\right)^{n} u[n]-6\left(\frac{1}{2}\right)^{n} u[n]

Passo 1

O enunciado dá o sinal
x[n]=7\left(\tfrac{1}{3}\right)^{n}u[n]-6\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}u[n],
onde u[n] é o degrau unitário (ou seja, u[n]=1 para n\ge0 e u[n]=0 para n<0).
O que se pede: calcular a transformada X(z) de x[n] e indicar a região de convergência (ROC).

Passo 2

Definição e ideia chave (explicação passo a passo). A transformada bilateral de Z de um sinal discreto x[n] é
X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,z^{-n},
onde z é uma variável complexa. Para sinais causais (multiplicados por u[n]) a soma fica a partir de n=0:
X(z)=\sum_{n=0}^{\infty} x[n]\,z^{-n}.
Ferramenta essencial: soma da série geométrica. Se |r|<1, então
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Aplicaremos isso repetidas vezes, com r sendo uma combinação de constantes e z^{-1}. A condição de convergência será |r|<1, que vira uma condição sobre |z|.

Passo 3

Transformada do primeiro termo. Considere x_1[n]=7\left(\tfrac{1}{3}\right)^n u[n]. Então
X_1(z)=\sum_{n=0}^{\infty} 7\left(\tfrac{1}{3}\right)^n z^{-n} =7\sum_{n=0}^{\infty}\left(\tfrac{1}{3}z^{-1}\right)^n.
Aqui o termo geométrico é r=\tfrac{1}{3}z^{-1}. Usa-se a soma geométrica se |r|<1, isto é \left|\tfrac{1}{3}z^{-1}\right|<1 que equivale a |z|> \tfrac{1}{3}. Aplicando a fórmula,
X_1(z)=7\cdot\frac{1}{1-\tfrac{1}{3}z^{-1}}.
É comum manipular para uma forma em termos de z (multiplicando numerador e denominador por z):
X_1(z)=7\cdot\frac{z}{z-\tfrac{1}{3}}.

Passo 4

Transformada do segundo termo. Considere x_2[n]=-6\left(\tfrac{1}{2}\right)^n u[n]. Analogamente,
X_2(z)=\sum_{n=0}^{\infty} -6\left(\tfrac{1}{2}\right)^n z^{-n} =-6\sum_{n=0}^{\infty}\left(\tfrac{1}{2}z^{-1}\right)^n.
Aqui r=\tfrac{1}{2}z^{-1} e a soma converge se |r|<1, ou seja |z|>\tfrac{1}{2}. Aplicando a soma geométrica,
X_2(z)=-6\cdot\frac{1}{1-\tfrac{1}{2}z^{-1}}=-6\cdot\frac{z}{z-\tfrac{1}{2}}.

Passo 5

Soma das duas transformadas. Como x[n]=x_1[n]+x_2[n],
X(z)=X_1(z)+X_2(z) =7\cdot\frac{z}{z-\tfrac{1}{3}}-6\cdot\frac{z}{z-\tfrac{1}{2}}.
Vamos colocar sobre um denominador comum e simplificar passo a passo. Denominador comum (z-\tfrac{1}{3})(z-\tfrac{1}{2}). Então
X(z)=\frac{7z(z-\tfrac{1}{2})-6z(z-\tfrac{1}{3})}{(z-\tfrac{1}{3})(z-\tfrac{1}{2})}.
Expansão do numerador:
7z\left(z-\tfrac{1}{2}\right)-6z\left(z-\tfrac{1}{3}\right) =7z^2-\tfrac{7}{2}z-6z^2+\tfrac{6}{3}z.
Agrupando termos semelhantes:
(7z^2-6z^2)+\left(-\tfrac{7}{2}z+\tfrac{6}{3}z\right) =z^2+\left(-\tfrac{7}{2}+\tfrac{2}{1}\right)z =z^2-\tfrac{3}{2}z.
Portanto
X(z)=\frac{z^2-\tfrac{3}{2}z}{(z-\tfrac{1}{3})(z-\tfrac{1}{2})}.
Pode-se fatorar um z no numerador:
X(z)=\frac{z\left(z-\tfrac{3}{2}\right)}{(z-\tfrac{1}{3})(z-\tfrac{1}{2})}.
Se preferir eliminar frações nos coeficientes, multiplica-se numerador e denominador por 6:
X(z)=\frac{6z^2-9z}{6z^2-5z+1}.
Ambas as formas são equivalentes.

Passo 6

Região de convergência (ROC). Cada termo exigia
X_1: |z|>\tfrac{1}{3},\qquad X_2: |z|>\tfrac{1}{2}.
A ROC do sinal completo é a interseção dessas condições, ou seja
\text{ROC}:\\ |z|>\tfrac{1}{2}.
Isso faz sentido fisicamente: o polo mais externo (maior módulo) governa a ROC para sinais causais (a interseção exige que |z| seja maior que ambos).

Resposta

X(z)=7\cdot\frac{z}{z-\tfrac{1}{3}}-6\cdot\frac{z}{z-\tfrac{1}{2}}=\frac{z\left(z-\tfrac{3}{2}\right)}{(z-\tfrac{1}{3})(z-\tfrac{1}{2})}=\frac{6z^2-9z}{6z^2-5z+1}
\text{ROC: }\\ |z|>\tfrac{1}{2}

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