Questão 04- Dado o sinal x[n]=-a^{n} u[-n-1] e sendo |a| constante, calcule sua transformada Z.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
x[n] = -a^{n}\,u[-n-1]
com |a| constante, e pede para calcular a transformada Z de x[n].
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A sequência contém o fator u[-n-1]. Isso significa que u[-n-1]=1 se -n-1\ge0 e u[-n-1]=0 caso contrário. Logo, u[-n-1]=1 para n\le-1 e u[-n-1]=0 para n\ge0.
  • Portanto x[n]=-a^{n} apenas para n\le-1, e x[n]=0 para n\ge0.
  • O que se pede: obter X(z), a transformada Z (ou seja, a soma correta em z e a região de convergência).

Passo 2

Definição que vamos usar (transformada bilateral Z):
X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,z^{-n}.
Aqui z é uma variável complexa e a soma converge apenas para valores de z na região de convergência (ROC). A ROC é parte essencial da resposta, porque a mesma expressão algébrica pode ter ROCs diferentes dependendo do suporte de x[n].
Agora substituímos a informação sobre o suporte: como x[n] é zero para n\ge0 e igual a -a^{n} para n\le-1, a soma reduz-se a
X(z)=\sum_{n=-\infty}^{-1} -a^{n}\,z^{-n}.

Passo 3

Vamos manipular a soma para reconhecê-la como uma série geométrica. Colocando tudo como potência de um único termo:
-a^{n}\,z^{-n} = -\bigl(a z^{-1}\bigr)^{n}.
Logo
X(z) = -\sum_{n=-\infty}^{-1} \bigl(a z^{-1}\bigr)^{n}.
Para trabalhar com uma soma cujos índices são positivos, fazemos a mudança de variável m=-n. Quando n=-1 temos m=1; quando n\to -\infty temos m\to\infty. Portanto
X(z) = -\sum_{m=1}^{\infty} \bigl(a z^{-1}\bigr)^{-m}.
Simplificando a potência negativa:
\bigl(a z^{-1}\bigr)^{-m} = \bigl(z/a\bigr)^{m},
então
X(z) = -\sum_{m=1}^{\infty} \bigl(z/a\bigr)^{m}.

Passo 4

Agora somamos a série geométrica padrão. Lembrando a fórmula válida para \sum_{m=1}^{\infty} q^{m}:
\sum_{m=1}^{\infty} q^{m}=\frac{q}{1-q},\qquad\text{para }|q|<1.
Aqui q=z/a. Aplicando:
X(z) = -\frac{z/a}{1 - z/a}.
Fazendo álgebra para simplificar:
X(z) = -\frac{z}{a}\cdot\frac{1}{1 - z/a} = -\frac{z}{a - z} = \frac{z}{\,z-a\,}.

Passo 5

Determinação da região de convergência (ROC). A condição de validade da soma geométrica foi |q|<1, isto é
\left|\frac{z}{a}\right|<1 \quad\Longrightarrow\quad |z|<|a|.
Portanto a ROC é o interior do círculo de raio |a| no plano complexo: |z|<|a|.
Observação importante (dica de prova): a forma racional
X(z)=\frac{z}{z-a}=\frac{1}{1-a z^{-1}}
é uma identidade algébrica, mas a ROC diferencia qual sequência gerou essa expressão. Para uma sequência direita (causal) a^{n}u[n] a ROC seria |z|>|a|; para a nossa sequência, que é esquerda (suporte em n\le-1), a ROC é |z|<|a|. Sempre deduza a ROC a partir do suporte de x[n].

Passo 6

Resumo final e interpretação rápida:
  • A transformada Z calculada é a função racional \dfrac{z}{z-a}.
  • O polo está em z=a e a ROC é |z|<|a| (região interna ao círculo de raio |a|), compatível com sequência para índices negativos.
Força aí — essa é uma boa típica questão de provas: identificar o suporte pelo passo do unit step e transformar a soma num geométrico. Agora dá pra fazer rapidinho na prova.

Resposta

X(z)=\frac{z}{\,z-a\,}
\text{ROC: }|z|<|a|

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