Questão 04- Dado o sinal x[n]=-a^{n} u[-n-1] e sendo |a| constante, calcule sua transformada Z.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
x[n] = -a^{n}\,u[-n-1]
com |a| constante, e pede para calcular a transformada Z de x[n].
Informações importantes extraídas do enunciado:
A sequência contém o fator u[-n-1]. Isso significa que u[-n-1]=1 se -n-1\ge0 e u[-n-1]=0 caso contrário. Logo, u[-n-1]=1 para n\le-1 e u[-n-1]=0 para n\ge0.
Portanto x[n]=-a^{n} apenas para n\le-1, e x[n]=0 para n\ge0.
O que se pede: obter X(z), a transformada Z (ou seja, a soma correta em z e a região de convergência).
Passo 2
Definição que vamos usar (transformada bilateral Z):
X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,z^{-n}.
Aqui z é uma variável complexa e a soma converge apenas para valores de z na região de convergência (ROC). A ROC é parte essencial da resposta, porque a mesma expressão algébrica pode ter ROCs diferentes dependendo do suporte de x[n].
Agora substituímos a informação sobre o suporte: como x[n] é zero para n\ge0 e igual a -a^{n} para n\le-1, a soma reduz-se a
X(z)=\sum_{n=-\infty}^{-1} -a^{n}\,z^{-n}.
Passo 3
Vamos manipular a soma para reconhecê-la como uma série geométrica. Colocando tudo como potência de um único termo:
Para trabalhar com uma soma cujos índices são positivos, fazemos a mudança de variável m=-n. Quando n=-1 temos m=1; quando n\to -\infty temos m\to\infty. Portanto
Portanto a ROC é o interior do círculo de raio |a| no plano complexo: |z|<|a|.
Observação importante (dica de prova): a forma racional
X(z)=\frac{z}{z-a}=\frac{1}{1-a z^{-1}}
é uma identidade algébrica, mas a ROC diferencia qual sequência gerou essa expressão. Para uma sequência direita (causal) a^{n}u[n] a ROC seria |z|>|a|; para a nossa sequência, que é esquerda (suporte em n\le-1), a ROC é |z|<|a|. Sempre deduza a ROC a partir do suporte de x[n].
Passo 6
Resumo final e interpretação rápida:
A transformada Z calculada é a função racional \dfrac{z}{z-a}.
O polo está em z=a e a ROC é |z|<|a| (região interna ao círculo de raio |a|), compatível com sequência para índices negativos.
Força aí — essa é uma boa típica questão de provas: identificar o suporte pelo passo do unit step e transformar a soma num geométrico. Agora dá pra fazer rapidinho na prova.