Questão 06: Dada a densidade de fluxo elétrico a seguir: \vec{D}=2(x+y) \hat{a}_{x}+ (3 x-2 y) \hat{a}_{y} \mathrm{~V} / \mathrm{m}. Determine: (a) \rho_{v}. (b) A carga total Q envolvida por um cubo de 2 m de aresta, localizado no primeiro octante com três de seus lados coincidindo com os eixos x, y e z, estando um dos seus vértices na origem.

Passo 1

O enunciado fornece a densidade de fluxo elétrico
\vec{D}(x,y,z)=2(x+y)\,\hat{a}_x \;+\;(3x-2y)\,\hat{a}_y\quad\bigl[\mathrm{V/m}\bigr]
e pede:
a) a densidade volumétrica de carga \rho_v, usando a forma diferencial da lei de Gauss \nabla\!\cdot\!\vec{D}=\rho_v;
b) a carga total Q num cubo de aresta 2,m no primeiro octante (vértice na origem).

Passo 2

Para encontrar \rho_v usamos
\rho_v=\nabla\!\cdot\!\vec{D} =\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}.
Aqui D_x=2(x+y), D_y=3x-2y e D_z=0. Então
\frac{\partial D_x}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl[2(x+y)\bigr]=2, \quad \frac{\partial D_y}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl[3x-2y\bigr]=-2, \quad \frac{\partial D_z}{\partial z}=0.
Somando, obtém-se
\rho_v=2+(-2)+0=0.

Passo 3

A carga total Q no cubo é
Q=\int_V \rho_v\,dV.
Como \rho_v=0 em todo o volume do cubo, a integral é nula:
Q=0.

Resposta

(a) \rho_v=0
(b) Q=0

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