Questão 03: Uma carga q_{1}=4 \mu C está localizada em ( 1 c m, 1 c m, 0 ), e uma carga q_{2} está localizada em ( 0,0,4 c m ). Qual deve ser a carga q_{2} de forma que \vec{E} em ( 0,2 c m, 0 ) não tenha componente em y.

Passo 1

O enunciado dá duas cargas pontuais no espaço: \,q_{1}=4\,\mu\text{C} em (1\text{ cm},1\text{ cm},0) e q_{2} em (0,0,4\text{ cm}). Queremos que o campo elétrico resultante em P=(0,2\text{ cm},0) não tenha componente em y. Vamos usar a lei de Coulomb para ponto cargas:
\vec{E}_i = k\,q_i\,\frac{\vec{r}-\vec{r}_i}{\bigl|\vec{r}-\vec{r}_i\bigr|^3}
e calcular a soma das componentes y.

Passo 2

Calculemos os vetores deslocamento em cm, medindo tudo em centímetros para simplificar (o fator k cancela ao igualar a soma a zero):
\;\vec{r}=(0,2,0),
\;\vec{r}_1=(1,1,0) \Delta \vec{r}_1=\vec{r}-\vec{r}_1=(-1,1,0),
\;\|\Delta \vec{r}_1\|=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt{2}.
\;\vec{r}_2=(0,0,4) \Delta \vec{r}_2=\vec{r}-\vec{r}_2=(0,2,-4),
\;\|\Delta \vec{r}_2\|=\sqrt{0^2+2^2+(-4)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.

Passo 3

Componentes y dos campos:
Para q_1:
E_{1,y} = k\,q_1\;\frac{\Delta y_1}{\|\Delta\vec{r}_1\|^3} = k\,q_1\;\frac{1}{(\sqrt{2})^3} = k\,q_1\;\frac{1}{2\sqrt{2}}.

Passo 4

Para q_2:
E_{2,y} = k\,q_2\;\frac{\Delta y_2}{\|\Delta\vec{r}_2\|^3} = k\,q_2\;\frac{2}{(2\sqrt{5})^3} = k\,q_2\;\frac{2}{8\cdot5\sqrt{5}} = k\,q_2\;\frac{1}{20\sqrt{5}}.

Passo 5

Exigimos E_{1,y}+E_{2,y}=0. Como k\neq0,
\frac{q_1}{2\sqrt{2}}+\frac{q_2}{20\sqrt{5}}=0 \quad\Longrightarrow\quad q_2=-q_1\;\frac{20\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} =-10\,q_1\,\sqrt{\frac{5}{2}}.
Substituindo q_1=4\,\mu\text{C}:
q_2=-10\cdot4\,\mu\text{C}\,\sqrt{2{,}5}\approx -63{,}3\,\mu\text{C}.

Resposta

q_{2}\approx -63,3\\ \mu\text{C}.

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