Questão 06. Determine a solução de
Passo 1
Enunciado: Determine a solução da equação
O que o problema pede: encontrar as funções
que satisfazem essa equação diferencial em um intervalo onde a solução faz sentido. Informações dadas: a equação envolve a derivada
, termos proporcionais a
e a
, e coeficientes que dependem de
(por exemplo
e
). Note que a equação não está definida em
por causa de
, então devemos trabalhar em intervalos com
. A solução geral deve conter uma constante arbitrária.
Passo 2
Observação sobre o tipo de equação e escolha do método (explicação didática): a equação é de primeira ordem e não é linear por causa do termo com
. Existe um método padrão para equações da forma
que consiste em fazer uma substituição para transformar a equação numa linear em outra função. Essa classe chama-se equações de Bernoulli (só para você ter nome, não precisa decorar). Aqui temos
,
e
. A substituição padrão é
Para
isso dá
. Vou usar essa substituição porque ela transforma o problema num problema linear de primeira ordem, que a gente já sabe resolver com fator integrante. Vou mostrar passo a passo como aplicar isso.
Passo 3
Aplicando a substituição e derivando passo a passo: defina
Calcule a derivada de
em função de
e
:
Agora reorganizamos a equação original para obter uma expressão que contenha
. Começamos com
Multiplicando essa igualdade por
(isso é permitido enquanto
; o caso
será tratado à parte) obtemos
Agora substituímos a expressão de
e
: como
e
, a equação vira
Pronto: transformamos a equação não linear em uma equação linear de primeira ordem para
.
Passo 4
Resolver a equação linear para
pelo método do fator integrante: a equação está na forma padrão
onde, comparando, temos
e
. O fator integrante
é dado por
Calcule a integral:
Portanto
Para trabalhar de modo simples, vamos escolher um intervalo onde
ou
e usar
(o raciocínio é o mesmo, só lembrando que a solução envolve
). Multiplicando a equação por
temos
O lado esquerdo é a derivada do produto
(isso vem da regra do produto e da construção do fator integrante). Logo
Passo 5
Integrar e isolar
: integramos ambos os lados em relação a
:
Isso dá
onde
é a constante de integração. Agora isolamos
:
Passo 6
Voltar para
e analisar constantes e casos especiais: lembrando que
, temos
Invertemos para obter
:
Essa é a solução geral obtida pela substituição, válida enquanto o denominador for não nulo, ou seja enquanto
Além disso, precisamos lembrar de um caso que a substituição excluiu: se
então a multiplicação por
não foi válida. Verificamos diretamente na equação original:
logo
satisfaz a equação. Portanto
é uma solução singular que não aparece na forma
.