Questão 07. Encontre a solução do PVI
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial (PVI) dado por
com a condição inicial
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação diferencial é de primeira ordem e linear em
. - A incógnita é a função
. - A condição inicial é no ponto
, que é positivo, portanto podemos dividir por sem problemas locais (exceto em , que fica fora do domínio considerado aqui). - Nossa tarefa: encontrar
que satisfaça a ODE e .
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão
. Dividindo ambos os lados por
(com
) obtemos
Aqui:
-
é a função que multiplica ; -
é o termo do lado direito.
Explicação didática: a forma padrão é útil porque permite usar o fator integrante (integrating factor), que transforma a equação em uma derivada exata de.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. Por definição,
Substituindo
,
Usando propriedades de logaritmo e exponencial, para
(nosso caso, pois
) isso fica
Explicação didática: o fator integrante é uma função que, ao multiplicar a equação, faz com que o lado esquerdo se torne a derivada do produto
. Escolhemos
porque
quando
.
Passo 4
Multiplicar a equação padrão por
. Fazendo isso obtemos
Agora reconhecer que o lado esquerdo é a derivada do produto
. De fato, derivando
temos
que é exatamente o termo à esquerda. Logo a equação fica
Explicação didática: sempre que a multiplicação por
transforma o lado esquerdo em uma derivada total, podemos integrar ambos os lados facilmente.
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
Isso dá
onde
é a constante de integração. Explicação didática: a integral da derivada recupera a função original (princípio fundamental do cálculo) e
.
Passo 6
Isolar
multiplicando por
:
Neste ponto temos a família geral de soluções (para
, e em particular válida para
).
Passo 7
Aplicar a condição inicial
. Substituindo
na expressão de
:
Sabemos que
, então a expressão fica
o que implica
Explicação didática: a condição inicial fixa a constante de integração; é comum que funções trigonométricas no ponto dado zereiem um termo, simplificando a determinação de
.
Passo 8
Com
a solução particular do PVI é
Comentário final e verificação rápida: podemos verificar substituindo de volta na equação original. Diferenciando
obtemos
. Então
o que confere com o lado direito da ODE. Além disso
, satisfeito.