Questão 07. Encontre a solução do PVI
x y^{\prime}-3 y=x^{4} \cos x
y(2 \pi)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial (PVI) dado por
x\,y'-3y=x^{4}\cos x
com a condição inicial
y(2\pi)=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação diferencial é de primeira ordem e linear em y.
  • A incógnita é a função y=y(x).
  • A condição inicial é no ponto x=2\pi, que é positivo, portanto podemos dividir por x sem problemas locais (exceto em x=0, que fica fora do domínio considerado aqui).
  • Nossa tarefa: encontrar y(x) que satisfaça a ODE e y(2\pi)=0.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão y'+P(x)y=Q(x). Dividindo ambos os lados por x (com x\neq0) obtemos
y' - \frac{3}{x}y = x^{3}\cos x.
Aqui:
  • \displaystyle P(x) = -\frac{3}{x} é a função que multiplica y;
  • \displaystyle Q(x)=x^{3}\cos x é o termo do lado direito.
    Explicação didática: a forma padrão é útil porque permite usar o fator integrante (integrating factor), que transforma a equação em uma derivada exata de \mu(x)y.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x). Por definição,
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
Substituindo P(x)=-\dfrac{3}{x},
\mu(x)=\exp\!\Big(\int -\frac{3}{x}\,dx\Big)=\exp\!\big(-3\ln|x|\big).
Usando propriedades de logaritmo e exponencial, para x>0 (nosso caso, pois 2\pi>0) isso fica
\mu(x)=x^{-3}.
Explicação didática: o fator integrante é uma função que, ao multiplicar a equação, faz com que o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(x)y. Escolhemos x^{-3} porque \exp(-3\ln x)=x^{-3} quando x>0.

Passo 4

Multiplicar a equação padrão por \mu(x)=x^{-3}. Fazendo isso obtemos
x^{-3}y' - 3x^{-4}y = \cos x.
Agora reconhecer que o lado esquerdo é a derivada do produto \mu(x)y. De fato, derivando \mu y temos
\big(x^{-3}y\big)' = x^{-3}y' + (x^{-3})'y = x^{-3}y' -3x^{-4}y,
que é exatamente o termo à esquerda. Logo a equação fica
\big(x^{-3}y\big)' = \cos x.
Explicação didática: sempre que a multiplicação por \mu transforma o lado esquerdo em uma derivada total, podemos integrar ambos os lados facilmente.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \big(x^{-3}y\big)'\,dx = \int \cos x\,dx.
Isso dá
x^{-3}y = \sin x + C,
onde C é a constante de integração. Explicação didática: a integral da derivada recupera a função original (princípio fundamental do cálculo) e \int \cos x\,dx = \sin x + C.

Passo 6

Isolar y multiplicando por x^{3}:
y = x^{3}(\sin x + C) = x^{3}\sin x + Cx^{3}.
Neste ponto temos a família geral de soluções (para x\neq0, e em particular válida para x>0).

Passo 7

Aplicar a condição inicial y(2\pi)=0. Substituindo x=2\pi na expressão de y:
0=y(2\pi)=(2\pi)^{3}\sin(2\pi)+C(2\pi)^{3}.
Sabemos que \sin(2\pi)=0, então a expressão fica
0 = 0 + C(2\pi)^{3},
o que implica
C=0.
Explicação didática: a condição inicial fixa a constante de integração; é comum que funções trigonométricas no ponto dado zereiem um termo, simplificando a determinação de C.

Passo 8

Com C=0 a solução particular do PVI é
y(x)=x^{3}\sin x.
Comentário final e verificação rápida: podemos verificar substituindo de volta na equação original. Diferenciando y obtemos y'=3x^{2}\sin x + x^{3}\cos x. Então
x y' - 3y = x\big(3x^{2}\sin x + x^{3}\cos x\big) - 3x^{3}\sin x = x^{4}\cos x,
o que confere com o lado direito da ODE. Além disso y(2\pi)=(2\pi)^{3}\sin(2\pi)=0, satisfeito.

Resposta

y(x)=x^{3}\sin x

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