Questão 06. Determine a solução de
y^{\prime}+\frac{4}{x} y=x^{3} y^{2}

Passo 1

Enunciado: Determine a solução da equação
y^{\prime}+\frac{4}{x} y=x^{3} y^{2}
O que o problema pede: encontrar as funções y(x) que satisfazem essa equação diferencial em um intervalo onde a solução faz sentido. Informações dadas: a equação envolve a derivada y^{\prime}, termos proporcionais a y e a y^{2}, e coeficientes que dependem de x (por exemplo \tfrac{4}{x} e x^{3}). Note que a equação não está definida em x=0 por causa de \tfrac{4}{x}, então devemos trabalhar em intervalos com x\neq 0. A solução geral deve conter uma constante arbitrária.

Passo 2

Observação sobre o tipo de equação e escolha do método (explicação didática): a equação é de primeira ordem e não é linear por causa do termo com y^{2}. Existe um método padrão para equações da forma
y' + P(x)y = Q(x) y^{n},
que consiste em fazer uma substituição para transformar a equação numa linear em outra função. Essa classe chama-se equações de Bernoulli (só para você ter nome, não precisa decorar). Aqui temos P(x)=\tfrac{4}{x}, Q(x)=x^{3} e n=2. A substituição padrão é
u = y^{1-n}.
Para n=2 isso dá u = y^{-1}. Vou usar essa substituição porque ela transforma o problema num problema linear de primeira ordem, que a gente já sabe resolver com fator integrante. Vou mostrar passo a passo como aplicar isso.

Passo 3

Aplicando a substituição e derivando passo a passo: defina
u = y^{-1}.
Calcule a derivada de u em função de y e y':
u' = \frac{d}{dx}\bigl(y^{-1}\bigr) = -y^{-2} y'.
Agora reorganizamos a equação original para obter uma expressão que contenha -y^{-2}y'. Começamos com
y' + \frac{4}{x}y = x^{3} y^{2}.
Multiplicando essa igualdade por -y^{-2} (isso é permitido enquanto y\neq 0; o caso y\equiv 0 será tratado à parte) obtemos
-y^{-2}y' - \frac{4}{x}y^{-1} = -x^{3}.
Agora substituímos a expressão de u e u': como u'=-y^{-2}y' e u=y^{-1}, a equação vira
u' - \frac{4}{x}u = -x^{3}.
Pronto: transformamos a equação não linear em uma equação linear de primeira ordem para u(x).

Passo 4

Resolver a equação linear para u pelo método do fator integrante: a equação está na forma padrão
u' + P_u(x)\,u = g(x),
onde, comparando, temos P_u(x) = -\dfrac{4}{x} e g(x) = -x^{3}. O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P_u(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int -\frac{4}{x}\,dx\right).
Calcule a integral:
\int -\frac{4}{x}\,dx = -4\ln|x|.
Portanto
\mu(x)=\exp\!\bigl(-4\ln|x|\bigr)=|x|^{-4}.
Para trabalhar de modo simples, vamos escolher um intervalo onde x>0 ou x<0 e usar \mu(x)=x^{-4} (o raciocínio é o mesmo, só lembrando que a solução envolve \ln|x|). Multiplicando a equação por \mu(x)=x^{-4} temos
x^{-4}u' - \frac{4}{x} x^{-4} u = -x^{-1}.
O lado esquerdo é a derivada do produto \bigl(x^{-4}u\bigr)' (isso vem da regra do produto e da construção do fator integrante). Logo
\bigl(x^{-4}u\bigr)' = -x^{-1}.

Passo 5

Integrar e isolar u: integramos ambos os lados em relação a x:
\int \bigl(x^{-4}u\bigr)'\,dx = \int -x^{-1}\,dx.
Isso dá
x^{-4}u = -\ln|x| + C,
onde C é a constante de integração. Agora isolamos u:
u = x^{4}\bigl(-\ln|x| + C\bigr)=x^{4}\bigl(C - \ln|x|\bigr).

Passo 6

Voltar para y e analisar constantes e casos especiais: lembrando que u=y^{-1}, temos
y^{-1} = x^{4}\bigl(C - \ln|x|\bigr).
Invertemos para obter y:
y(x)=\frac{1}{x^{4}\bigl(C - \ln|x|\bigr)}.
Essa é a solução geral obtida pela substituição, válida enquanto o denominador for não nulo, ou seja enquanto
x\neq 0\quad\text{e}\quad C - \ln|x| \neq 0.
Além disso, precisamos lembrar de um caso que a substituição excluiu: se y\equiv 0 então a multiplicação por y^{-2} não foi válida. Verificamos diretamente na equação original:
\text{se } y\equiv 0\text{ então } y' + \frac{4}{x}y = 0 = x^{3}y^{2},ã
logo y\equiv 0 satisfaz a equação. Portanto y\equiv 0 é uma solução singular que não aparece na forma 1/(x^{4}(C-\ln|x|)).

Resposta

y(x)=\frac{1}{x^{4}\bigl(C-\ln|x|\bigr)},\quad C\in\mathbb{R},
y(x)\equiv 0.

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