Questão 06.
Encontre a solução da EDO de Bernoulli.
y^prime+x y=x y^2, y(0)=14

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Bernoulli
y' + x,y = x,y^2,
com condição inicial y(0)=tfrac14.
Em equações de Bernoulli do tipo
y' + P(x),y = Q(x),y^n,
fazemos a troca
u = y^1-n
para obter uma EDO linear em u. Aqui temos P(x)=x, Q(x)=x e n=2.

Passo 2

Como n=2, definimos
u = y^1-2 = y^-1
Diferenciando,
u' = -y^-2,y'
Substituímos y' da equação original
y' = -x,y + x,y^2
para obter a EDO em u.

Passo 3

Fazendo a substituição:
u' = -y^-2(-x,y + x,y^2) = x,y^-1 - x = x,u - x
Logo, u satisfaz a equação linear
u' - x,u = -x

Passo 4

Resolvemos por fator integrante. O fator integrante é
mu(x) = expl(-integral x,dxr) = e^-x^2/2
Multiplicando a EDO por mu(x),
l(u,e^-x^2/2r)' = -x,e^-x^2/2
Integramos em x:
u,e^-x^2/2 = integral -x,e^-x^2/2,dx + C
Fazendo t=-x^2/2, dt=-x,dx, a integral vira
integral -x,e^-x^2/2,dx = integral e^t,dt = e^-x^2/2
Assim
u,e^-x^2/2 = e^-x^2/2 + C Longrightarrow u = 1 + C,e^x^2/2

Passo 5

Impondo a condição inicial y(0)=tfrac14 implica
u(0) = y(0)^-1 = 4
Em x=0, a expressão de u
4 = 1 + C,e^0 ;Longrightarrow; C = 3
Logo
u(x) = 1 + 3,e^x^2/2

Passo 6

Voltando a y, como u=y^-1, temos
y(x) = 1u(x) = 11 + 3,e^x^2/2

Resposta

y(x) = 11 + 3, e^x^2/2

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