Questão 06.
Encontre a solução da EDO de Bernoulli.
Encontre a solução da EDO de Bernoulli.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Bernoulli
com condição inicial
.
Em equações de Bernoulli do tipo
Em equações de Bernoulli do tipo
fazemos a troca
para obter uma EDO linear em
. Aqui temos
,
e
.
Passo 2
Como
, definimos
Diferenciando,
Substituímos
da equação original
para obter a EDO em
.
Passo 3
Fazendo a substituição:
Logo,
satisfaz a equação linear
Passo 4
Resolvemos por fator integrante. O fator integrante é
Multiplicando a EDO por
,
Integramos em
:
Fazendo
,
, a integral vira
Assim
Passo 5
Impondo a condição inicial
implica
Em
, a expressão de
dá
Logo
Passo 6
Voltando a
, como
, temos