Questão 06:
Um escoamento bidimensional é descrito pela equação:
Onde x e y são dados em metros e o tempo em segundos. Determine as expressões para as componentes local e convectiva da aceleração. Qual é o módulo, direção e sentido do vetor velocidade e do vetor aceleração quando
e
?
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade bidimensional
com
e
em metros e
em segundos. As perguntas são:
- Determinar as expressões das componentes local e convectiva da aceleração (ou seja,
e ). - Para
e , achar o módulo, a direção e o sentido do vetor velocidade e do vetor aceleração .
Informações relevantes fornecidas:
-
. - Valores a avaliar no final:
, , .
Passo 2
Definição e cálculo da componente local da aceleração (explicação didática).
- Conceito: a componente local da aceleração é a taxa de variação temporal da velocidade em um ponto fixo do espaço. Em notação, é a derivada parcial de
em relação a mantendo fixos:
- Aplicando ao campo dado: calcule a derivada parcial de cada componente
e . -
(porque é tratado como constante ao derivar em relação a ). -
.
-
- Portanto,
Comentário intuitivo rápido: essa parte diz como a velocidade muda no tempo no próprio ponto
. Note que
não depende de
aqui — depende só de
e
.
Passo 3
Definição e cálculo da componente convectiva da aceleração (explicação bem passo a passo).
- Conceito: a componente convectiva (também chamada advectiva) mede a alteração da velocidade quando uma partícula se desloca pelo campo de velocidade. Em fórmulas:
onde
é o operador gradiente espacial em 2D.
- Como calcular em componentes: se
e ,
- Para o nosso campo:
e . Calcule as derivadas parciais espaciais necessárias: -
. -
(pois não depende de ). -
. -
.
-
- Agora substitua nas fórmulas:
-
- Resultado vetorial:
Pequena interpretação: a convectiva cresce como
e é nula se
(porque não há transporte se não há velocidade).]
Passo 4
Aceleração total somando as duas componentes (mostrando a soma e simplificando).
- Soma componente a componente:
- Reagrupando os termos em
e :
- Podemos fatorar
e se quiser:
Passo 5
Avaliação em
e
. Calcule primeiro
, depois
,
e
. Explique passo a passo os módulos e as direções.
- Velocidade no ponto:
-
. - Substituindo
e :
- Módulo:
. Direção e sentido: não estão definidos para o vetor nulo (não existe uma direção única).
-
- Componente local da aceleração no ponto:
-
. - Substituindo
:
-
- Componente convectiva da aceleração no ponto:
-
. - Para
temos , então
(isto confirma a intuição: sem velocidade instantânea não há advecção espacial.) -
- Aceleração total no ponto:
- Módulo da aceleração:
- Direção e sentido da aceleração:
- A direção é ao longo do vetor
. Uma forma habitual de dar a direção é o ângulo medido a partir do eixo :
- Ou seja, aponta no quadrante IV, numa reta formando
abaixo do eixo positivo . Em forma unitária o sentido é
- A direção é ao longo do vetor
Resposta
Expressões das componentes:
Para
e
:
, módulo
(direção/sentido indefinidos)