Questão 06:

Um escoamento bidimensional é descrito pela equação:
\boldsymbol{V}=3 x t \hat{\boldsymbol{\imath}}-3 y t \hat{\boldsymbol{\jmath}}
Onde x e y são dados em metros e o tempo em segundos. Determine as expressões para as componentes local e convectiva da aceleração. Qual é o módulo, direção e sentido do vetor velocidade e do vetor aceleração quando x=y=2,0 \mathrm{~m} e t=0 ?

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidade bidimensional
\boldsymbol{V}(x,y,t)=3 x t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-3 y t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}
com x e y em metros e t em segundos. As perguntas são:
  • Determinar as expressões das componentes local e convectiva da aceleração (ou seja, \boldsymbol{a}_{\text{local}} e \boldsymbol{a}_{\text{conv}}).
  • Para x=y=2{,}0\\ \mathrm{m} e t=0, achar o módulo, a direção e o sentido do vetor velocidade \boldsymbol{V} e do vetor aceleração \boldsymbol{a}.
Informações relevantes fornecidas:
  • \boldsymbol{V}(x,y,t)=\left(3xt\right)\hat{\boldsymbol{\imath}}+\left(-3yt\right)\hat{\boldsymbol{\jmath}}.
  • Valores a avaliar no final: x=2{,}0\\ \mathrm{m}, y=2{,}0\\ \mathrm{m}, t=0.

Passo 2

Definição e cálculo da componente local da aceleração (explicação didática).
  • Conceito: a componente local da aceleração é a taxa de variação temporal da velocidade em um ponto fixo do espaço. Em notação, é a derivada parcial de \boldsymbol{V} em relação a t mantendo x,y fixos:
\boldsymbol{a}_{\text{local}}=\frac{\partial \boldsymbol{V}}{\partial t}.
  • Aplicando ao campo dado: calcule a derivada parcial de cada componente \,u(x,y,t)=3xt e v(x,y,t)=-3yt.
    • \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial (3 x t)}{\partial t}=3x (porque x é tratado como constante ao derivar em relação a t).
    • \displaystyle \frac{\partial v}{\partial t}=\frac{\partial (-3 y t)}{\partial t}=-3y.
  • Portanto,
\boxed{\displaystyle \boldsymbol{a}_{\text{local}}=3x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-3y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}.}
Comentário intuitivo rápido: essa parte diz como a velocidade muda no tempo no próprio ponto (x,y). Note que \boldsymbol{a}_{\text{local}} não depende de t aqui — depende só de x e y.

Passo 3

Definição e cálculo da componente convectiva da aceleração (explicação bem passo a passo).
  • Conceito: a componente convectiva (também chamada advectiva) mede a alteração da velocidade quando uma partícula se desloca pelo campo de velocidade. Em fórmulas:
\boldsymbol{a}_{\text{conv}}=(\boldsymbol{V}\cdot\nabla)\boldsymbol{V},
onde \nabla=(\partial/\partial x)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+(\partial/\partial y)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} é o operador gradiente espacial em 2D.
  • Como calcular em componentes: se u=V_x e v=V_y,
\begin{aligned} a_{\text{conv},x}&=u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y},\\[4pt] a_{\text{conv},y}&=u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}. \end{aligned}
  • Para o nosso campo: u=3xt e v=-3yt. Calcule as derivadas parciais espaciais necessárias:
    • \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial (3 x t)}{\partial x}=3t.
    • \displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=0 (pois u não depende de y).
    • \displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}=0.
    • \displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial (-3 y t)}{\partial y}=-3t.
  • Agora substitua nas fórmulas:
    • \displaystyle a_{\text{conv},x}=u\cdot(3t)+v\cdot 0=(3xt)(3t)=9xt^{2}.
    • \displaystyle a_{\text{conv},y}=u\cdot 0+v\cdot(-3t)=(-3yt)(-3t)=9yt^{2}.
  • Resultado vetorial:
\boxed{\displaystyle \boldsymbol{a}_{\text{conv}}=9t^{2}\big(x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big).}
Pequena interpretação: a convectiva cresce como t^{2} e é nula se \boldsymbol{V}=\boldsymbol{0} (porque não há transporte se não há velocidade).]

Passo 4

Aceleração total somando as duas componentes (mostrando a soma e simplificando).
  • Soma componente a componente:
\begin{aligned} \boldsymbol{a}&=\boldsymbol{a}_{\text{local}}+\boldsymbol{a}_{\text{conv}}\\[4pt] &=\big(3x\big)\hat{\boldsymbol{\imath}}+\big(-3y\big)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+9t^{2}\big(x\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big). \end{aligned}
  • Reagrupando os termos em x e y:
\boxed{\displaystyle \boldsymbol{a}=\big(3x+9xt^{2}\big)\hat{\boldsymbol{\imath}}+\big(-3y+9yt^{2}\big)\hat{\boldsymbol{\jmath}}.}
  • Podemos fatorar 3x e 3y se quiser:
\displaystyle \boldsymbol{a}=3x\big(1+3t^{2}\big)\hat{\boldsymbol{\imath}}+3y\big(-1+3t^{2}\big)\hat{\boldsymbol{\jmath}}.]

Passo 5

Avaliação em x=y=2{,}0\\ \mathrm{m} e t=0. Calcule primeiro \boldsymbol{V}, depois \boldsymbol{a}_{\text{local}}, \boldsymbol{a}_{\text{conv}} e \boldsymbol{a}. Explique passo a passo os módulos e as direções.
  • Velocidade no ponto:
    • \displaystyle \boldsymbol{V}=(3xt)\hat{\boldsymbol{\imath}}+(-3yt)\hat{\boldsymbol{\jmath}}.
    • Substituindo x=2{,}0 e t=0:
    \displaystyle \boldsymbol{V}=(3\cdot 2{,}0\cdot 0)\hat{\boldsymbol{\imath}}+(-3\cdot 2{,}0\cdot 0)\hat{\boldsymbol{\jmath}}=\boldsymbol{0}.
    • Módulo: \displaystyle \|\boldsymbol{V}\|=0. Direção e sentido: não estão definidos para o vetor nulo (não existe uma direção única).
  • Componente local da aceleração no ponto:
    • \displaystyle \boldsymbol{a}_{\text{local}}=3x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-3y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}.
    • Substituindo x=y=2{,}0:
    \displaystyle \boldsymbol{a}_{\text{local}}=3\cdot 2{,}0\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-3\cdot 2{,}0\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}=6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\quad(\mathrm{m\,s^{-2}}).
  • Componente convectiva da aceleração no ponto:
    • \displaystyle \boldsymbol{a}_{\text{conv}}=9t^{2}\big(x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big).
    • Para t=0 temos 9t^{2}=0, então
    \displaystyle \boldsymbol{a}_{\text{conv}}=\boldsymbol{0}.(isto confirma a intuição: sem velocidade instantânea não há advecção espacial.)
  • Aceleração total no ponto: \displaystyle \boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}_{\text{local}}+\boldsymbol{a}_{\text{conv}}=6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}.
  • Módulo da aceleração: \displaystyle \|\boldsymbol{a}\|=\sqrt{6^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{36+36}= \sqrt{72}=6\sqrt{2}\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
  • Direção e sentido da aceleração:
    • A direção é ao longo do vetor (1,-1). Uma forma habitual de dar a direção é o ângulo \theta medido a partir do eixo +x:
    \displaystyle \theta=\arctan\!\left(\frac{a_y}{a_x}\right)=\arctan\!\left(\frac{-6}{6}\right)=\arctan(-1)=-45^\circ.
    • Ou seja, aponta no quadrante IV, numa reta formando 45^\circ abaixo do eixo positivo x. Em forma unitária o sentido é
    \displaystyle \hat{\boldsymbol{e}}_{\boldsymbol{a}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\big(\hat{\boldsymbol{\imath}}-\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big).

Resposta

Expressões das componentes:
\displaystyle \boldsymbol{a}_{\text{local}}=3x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-3y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}
\displaystyle \boldsymbol{a}_{\text{conv}}=9t^{2}\big(x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+y\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big)
Para x=y=2{,}0\\ \mathrm{m} e t=0:
\displaystyle \boldsymbol{V}=\boldsymbol{0}, módulo 0 (direção/sentido indefinidos)
\displaystyle \boldsymbol{a}=6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-6\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}, módulo 6\sqrt{2}\\ \mathrm{m\,s^{-2}}, direção \theta=-45^\circ (ou vetor unitário \dfrac{1}{\sqrt{2}}(\hat{\boldsymbol{\imath}}-\hat{\boldsymbol{\jmath}})), sentido apontando para o quadrante IV.

Exercícios relacionados