Considere uma parede plana de espessura 6 cm , feita de um material homogêneo com condutividade térmica de 0,5 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}. Durante uma reação exotérmica, ocorre geração volumétrica de calor uniforme à razão de 15 \mathrm{kW} / \mathrm{m}^{3} no interior da parede. As duas faces externas da parede são mantidas a uma temperatura constante de 25^{\circ} \mathrm{C}. Assumindo regime permanente e simetria em relação ao plano médio da parede, desenvolva um modelo matemático para prever a distribuição de temperatura ao longo da espessura da parede. Qual é a temperatura máxima no interior da parede? (1,5 pontos)
a) 26^{\circ} \mathrm{C}
b) 32,5^{\circ} \mathrm{C}
c) 38,5^{\circ} \mathrm{C}
d) 40^{\circ} \mathrm{C}
e) Nenhuma das alternativas

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (listei literalmente as informações fornecidas):
  • Espessura total da parede: 6\\ \mathrm{cm}.
  • Material homogêneo com condutividade térmica k=0,5\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
  • Geração volumétrica de calor uniforme: 15\\ \mathrm{kW}/\mathrm{m}^{3}.
  • As duas faces externas da parede estão mantidas a temperatura constante de 25^\circ\mathrm{C}.
  • Regime permanente e simetria em relação ao plano médio da parede (isto é, a distribuição de temperatura é simétrica em torno do centro).
O enunciado pede:
  • Desenvolver um modelo matemático para prever a distribuição de temperatura ao longo da espessura da parede (regime permanente).
  • Determinar a temperatura máxima no interior da parede.
Observações imediatas extraídas dos dados:
  • Converter unidades quando necessário: 15\\ \mathrm{kW}/\mathrm{m}^3 = 15000\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^3.
  • Espessura total L = 6\\ \mathrm{cm} = 0,06\\ \mathrm{m}. Metade da espessura (distância do centro até uma face) será usada por causa da simetria: a = L/2 = 0,03\\ \mathrm{m}.
  • As temperaturas das faces são iguais e fixas: T(\pm a)=25^\circ\mathrm{C}.
  • A simetria implica condição no centro: derivada zero em x=0 ( dT/dx(0)=0 ).

Passo 2

Escolha de coordenadas e enunciado das equações de conservação (fórmulas usadas).
  • Coloca-se o eixo x no centro da parede, com x=0 no plano médio e as faces em x=\pm a, onde a=0,03\\ \mathrm{m}.
  • Em regime permanente, para condução unidimensional com geração volumétrica uniforme q''' (potência por volume), a equação de balanço de energia (controle infinitesimal) dá, em notação física:
\frac{d q_x}{d x} = q'''.
Aqui q_x(x) é o fluxo de calor por unidade de área em direção positiva x. Esta equação significa: a variação do fluxo com x é igual à geração volumétrica (porque, numa fatia, a geração cria fluxo adicional conforme se avança).
  • A Lei de Fourier relaciona fluxo e gradiente de temperatura:
q_x(x) = -k\,\frac{dT}{dx},
onde k é a condutividade térmica (positiva) e o sinal negativo indica que o fluxo vai na direção de decrescimento de T.

Passo 3

Derivar a equação diferencial para T(x).
  • Substituindo q_x na equação de balanço:
\frac{d}{dx}\!\left(-k\,\frac{dT}{dx}\right) = q'''.
  • Como k é constante, isto é
-\,k\,\frac{d^{2}T}{dx^{2}} = q'''.
  • Portanto a equação diferencial a resolver é
\frac{d^{2}T}{dx^{2}} = -\,\frac{q'''}{k}.
Interpretação física rápida: o sinal negativo indica curvatura voltada para baixo (parábola invertida), ou seja, a temperatura tem um máximo no centro (coerente com geração interna que aquece o centro).

Passo 4

Integrar a equação diferencial e aplicar as condições de contorno.
  • Integração duas vezes:
\frac{d^{2}T}{dx^{2}} = -\,\frac{q'''}{k}
integra uma vez:
\frac{dT}{dx} = -\,\frac{q'''}{k}\,x + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. Pela simetria dT/dx(0)=0, logo C_{1}=0.
  • Integrando de novo:
T(x) = -\,\frac{q'''}{2k}\,x^{2} + C_{2},
onde C_{2} é outra constante. Aplicando a condição de contorno na face x=a (pegando a face externa à temperatura fixa 25^\circ\mathrm{C}):
T(a)=25^\circ\mathrm{C} = -\,\frac{q'''}{2k}\,a^{2} + C_{2}.
Logo
C_{2} = 25^\circ\mathrm{C} + \frac{q'''}{2k}\,a^{2}.
  • Assim a solução geral (distribuição de temperatura) é
T(x) = 25^\circ\mathrm{C} + \frac{q'''}{2k}\,\bigl(a^{2}-x^{2}\bigr).
Esta fórmula tem sentido físico claro: máximo em x=0 e decresce simetricamente até x=\pm a onde assume 25^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Identificar a localização e expressão da temperatura máxima.
  • A temperatura é máxima no centro x=0 (porque o termo -(q'''/(2k))x^{2} reduz T quando |x| cresce). Portanto a temperatura máxima é
T_{\max}=T(0)=25^\circ\mathrm{C} + \frac{q'''}{2k}\,a^{2}.
  • Substituir os valores numéricos (use sempre unidades SI):
q''' = 15\\ \mathrm{kW}/\mathrm{m}^{3} = 15000\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{3},
k = 0,5\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K},
a = 0,03\\ \mathrm{m}.
Calcule o incremento de temperatura central:
\Delta T = \frac{q'''}{2k}\,a^{2} = \frac{15000}{2\cdot 0,5}\cdot (0,03)^{2}.
  • Fazer as contas passo a passo:
\frac{15000}{2\cdot 0,5} = \frac{15000}{1} = 15000,
(0,03)^{2} = 0,0009,
\Delta T = 15000 \times 0,0009 = 13,5\\ \mathrm{K}.
Como diferença de temperatura em graus Celsius equivale a K, então
T_{\max} = 25^\circ\mathrm{C} + 13,5^\circ\mathrm{C} = 38,5^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Interpretação e verificação rápida (sanity check).
  • A solução é uma parábola invertida com máximo no centro: T(x)=25^\circ\mathrm{C}+13{,}5\,(1-(x/a)^{2}) — em x=\pm a recupera 25^\circ\mathrm{C}, em x=0 38{,}5^\circ\mathrm{C}.
  • Unidade e ordem de grandeza fazem sentido: geração volumétrica não é enorme e aumento de temperatura moderado de 13{,}5^\circ\mathrm{C}.

Resposta

c) 38,5^\circ\mathrm{C}

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