Considere uma parede plana de espessura 6 cm , feita de um material homogêneo com condutividade térmica de
. Durante uma reação exotérmica, ocorre geração volumétrica de calor uniforme à razão de 15
no interior da parede. As duas faces externas da parede são mantidas a uma temperatura constante de
. Assumindo regime permanente e simetria em relação ao plano médio da parede, desenvolva um modelo matemático para prever a distribuição de temperatura ao longo da espessura da parede. Qual é a temperatura máxima no interior da parede? (1,5 pontos)
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das alternativas
a)
b)
c)
d)
e) Nenhuma das alternativas
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (listei literalmente as informações fornecidas):
- Espessura total da parede:
. - Material homogêneo com condutividade térmica
. - Geração volumétrica de calor uniforme:
. - As duas faces externas da parede estão mantidas a temperatura constante de
. - Regime permanente e simetria em relação ao plano médio da parede (isto é, a distribuição de temperatura é simétrica em torno do centro).
O enunciado pede:
- Desenvolver um modelo matemático para prever a distribuição de temperatura ao longo da espessura da parede (regime permanente).
- Determinar a temperatura máxima no interior da parede.
Observações imediatas extraídas dos dados:
- Converter unidades quando necessário:
. - Espessura total
. Metade da espessura (distância do centro até uma face) será usada por causa da simetria: . - As temperaturas das faces são iguais e fixas:
. - A simetria implica condição no centro: derivada zero em
( ).
Passo 2
Escolha de coordenadas e enunciado das equações de conservação (fórmulas usadas).
- Coloca-se o eixo
no centro da parede, com no plano médio e as faces em , onde . - Em regime permanente, para condução unidimensional com geração volumétrica uniforme
(potência por volume), a equação de balanço de energia (controle infinitesimal) dá, em notação física:
Aqui
é o fluxo de calor por unidade de área em direção positiva
. Esta equação significa: a variação do fluxo com
é igual à geração volumétrica (porque, numa fatia, a geração cria fluxo adicional conforme se avança).
- A Lei de Fourier relaciona fluxo e gradiente de temperatura:
onde
é a condutividade térmica (positiva) e o sinal negativo indica que o fluxo vai na direção de decrescimento de
.
Passo 3
Derivar a equação diferencial para
.
- Substituindo
na equação de balanço:
- Como
é constante, isto é
- Portanto a equação diferencial a resolver é
Interpretação física rápida: o sinal negativo indica curvatura voltada para baixo (parábola invertida), ou seja, a temperatura tem um máximo no centro (coerente com geração interna que aquece o centro).
Passo 4
Integrar a equação diferencial e aplicar as condições de contorno.
- Integração duas vezes:
integra uma vez:
onde
é constante de integração. Pela simetria
, logo
.
- Integrando de novo:
onde
é outra constante. Aplicando a condição de contorno na face
(pegando a face externa à temperatura fixa
):
Logo
- Assim a solução geral (distribuição de temperatura) é
Esta fórmula tem sentido físico claro: máximo em
e decresce simetricamente até
onde assume
.
Passo 5
Identificar a localização e expressão da temperatura máxima.
- A temperatura é máxima no centro
(porque o termo reduz quando cresce). Portanto a temperatura máxima é
- Substituir os valores numéricos (use sempre unidades SI):
Calcule o incremento de temperatura central:
- Fazer as contas passo a passo:
Como diferença de temperatura em graus Celsius equivale a K, então
Passo 6
Interpretação e verificação rápida (sanity check).
- A solução é uma parábola invertida com máximo no centro:
— em recupera , em dá . - Unidade e ordem de grandeza fazem sentido: geração volumétrica não é enorme e aumento de temperatura moderado de
.
Resposta
c)