Questão 08 -

Um corpo negro tem um pico de emissão em uma temperatura cujo comprimento de onda de sua radiação vale 9.000 Å. Nessa temperatura, a radiação que emerge desse corpo não produz efeito fotoelétrico em uma placa metálica. Aumentando a temperatura do corpo negro, sua radiação emitida aumenta 81 vezes, causando efeito fotoelétrico na placa para o comprimento de onda de pico dessa nova temperatura. A energia necessária para frear esses fotoelétrons emitidos é equivalente à diferença de energia dos níveis n=2 e n=3 do átomo de hidrogênio de Bohr. Sabendo-se que a Lei de Wien relaciona o comprimento de onda de pico de emissão com a temperatura do corpo negro na forma \lambda T= constante, é CORRETO afirmar que a função trabalho do metal vale aproximadamente
Dados:
Energia do átomo de hidrogênio de Bohr no estado fundamental = 13,6 \mathrm{eV};
Constante de Planck =4,14 \cdot 10^{-15} \mathrm{eVs},
1 \mathrm{eV}=1,6 \cdot 10^{-19} \mathrm{~J}.
a) 1,15 \mathrm{eV}.
b) 2,25 \mathrm{eV}.
c) 4,50 \mathrm{eV}.
d) 7,25 \mathrm{eV}.
e) 10,75 \mathrm{eV}.

Passo 1

O enunciado dá um corpo negro com pico inicial em \lambda_{\rm old}=9000\,\text{\AA}, que não produz efeito fotoelétrico. Ao aumentar a temperatura, a intensidade emitida sobe 81 vezes, o que faz aparecer fotoelétrons no novo pico. A energia cinética máxima desses fotoelétrons é igual à diferença de energia entre os níveis n=2 e n=3 do átomo de hidrogênio. Sabendo que a lei de Wien é \lambda T= constante, e que queremos achar a função trabalho \varphi do metal, usaremos:
  1. Relação de temperaturas pela lei de Stefan–Boltzmann I\propto T^4.
  2. Lei de Wien para obter \lambda_{\rm new}.
  3. E_{\rm f}=hc/\lambda_{\rm new}.
  4. Diferença \Delta E_{2\to3} em Bohr.
  5. Equação fotoelétrica K_{\max}=E_{\rm f}-\varphi com K_{\max}=\Delta E_{2\to3}.

Passo 2

Como I\propto T^4 e a intensidade cresce 81 vezes,
\frac{T_{\rm new}}{T_{\rm old}} =\sqrt[4]{81} =3.

Passo 3

Pela lei de Wien, \lambda_{\rm new}T_{\rm new}=\lambda_{\rm old}T_{\rm old}, logo
\lambda_{\rm new} =\frac{\lambda_{\rm old}}{3} =\frac{9000\,\text{\AA}}{3} =3000\,\text{\AA} =300\,\text{nm}.

Passo 4

Energia do fóton de pico na nova temperatura:
E_{\rm f} =\frac{h\,c}{\lambda_{\rm new}} =\frac{4{,}14\times10^{-15}\,\text{eV\cdots}\;\times\;3{,}0\times10^8\,\text{m/s}}{300\times10^{-9}\,\text{m}} \approx4{,}14\,\text{eV}.

Passo 5

Níveis de Bohr do H:
E_n=-\frac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2},
então
E_2=-3{,}4\,\text{eV}, \quad E_3\approx-1{,}51\,\text{eV},
\Delta E_{2\to3} =\bigl|E_3-E_2\bigr| =1{,}89\,\text{eV}.

Passo 6

Fotoelétron satisfaz
K_{\max}=E_{\rm f}-\varphi,
com K_{\max}=\Delta E_{2\to3}. Então
\varphi =E_{\rm f}-\Delta E_{2\to3} =4{,}14-1{,}89 =2{,}25\,\text{eV}.

Resposta

b) 2{,}25\,\text{eV}

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