Questão 07 (Prof. Matheus Pinheiro) -

O comandante Matheus, da Enterprise navega pelo espaço sideral quando o detector da nave sinaliza o recebimento de uma radiação monocromática de comprimento de onda \lambda vinda de objeto que se encontra a sua frente, porém muito distante. Preocupado, por não conseguir identificar o tipo de objeto, o comandante ordena a parada imediata da nave para que possa analisar a radiação captada e verificar de que tipo de objeto se trata. No entanto, ao parar, o detector da nave sinalizar uma pequena variação \Delta \lambda em relação ao valor mostrado anteriormente (com a nave em movimento). Diante essas informações, é possível concluir que a velocidade da Enterprise em relação ao objeto muito distante, antes da parada abrupta, era de:

Dado:

  • A velocidade da luz no vácuo: c.

Consideração:

  • Suponha que a Enterprise se movia com velocidade constante antes da parada abrupta.
    a) \left(\frac{\Delta \lambda}{\lambda}\right) \mathrm{c}.
    b) \left(\frac{\Delta \lambda}{2 \lambda}\right) \mathrm{c}.
    c) \left(\frac{\Delta \lambda}{4 \lambda}\right) c.
    d) \left(\frac{\Delta \lambda^{2}}{\lambda+\Delta \lambda}\right) c.
    e) \left(\frac{2 \Delta \lambda^{2}}{\lambda+\Delta \lambda}\right) c.

Passo 1

O enunciado descreve que, com a nave em movimento, o detector mede uma radiação monocromática com comprimento de onda menor do que o valor em repouso \lambda, e ao parar essa medida passa a ser exatamente \lambda. A diferença entre eles é \Delta \lambda. O conteúdo envolvido é o efeito Doppler para ondas eletromagnéticas, que relaciona deslocamento de comprimento de onda à velocidade relativa v entre fonte e observador.

Passo 2

No limite v\ll c (aproximação clássica), a fórmula do efeito Doppler para o comprimento de onda percebido pela nave movendo-se em direção à fonte é
\lambda_{\text{mov}} \;=\;\lambda\;\Bigl(1-\frac{v}{c}\Bigr).

Passo 3

Definindo a variação \Delta \lambda = \lambda - \lambda_{\text{mov}}, temos
\Delta \lambda \;=\;\lambda - \lambda\Bigl(1-\frac{v}{c}\Bigr) =\lambda\,\frac{v}{c}.
Isolando v,
v = c\,\frac{\Delta \lambda}{\lambda}.

Passo 4

Como \Delta \lambda é pequena e v\ll c, a aproximação linear é adequada, levando diretamente à expressão de v em função de \Delta \lambda/\lambda.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\Delta \lambda}{\lambda}\,c

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