Questão 09: Uma linha infinita de cargas com densidade uniforme \rho_{l}=8(n C / m) está situada no plano x-y paralelo ao eixo y em x=2 m. Determine o potencial V_{A B} no ponto A(2 m, 0,5 m) em coordenadas cartesianas em relação ao ponto B(0,0,0).

Passo 1

O enunciado dá uma linha infinita de carga com densidade linear
\rho_{l}=8\times10^{-9}\,\mathrm{C/m}
ao longo do eixo y, localizada em x=2\,\mathrm{m}, z=0. Queremos o potencial elétrico em A(2,0,0{,}5) em relação a B(0,0,0), isto é
V_{AB}=V(A)-V(B).
O conteúdo é “potencial de uma linha infinita de carga” e vamos usar a expressão de V em função da distância radial r ao fio.

Passo 2

Para uma linha infinita com carga linear \lambda, o campo elétrico em um ponto a distância r do fio vale
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}\,r}\,.
O potencial relativo a uma referência r_{0} é
V(r)-V(r_{0})=-\int_{r_{0}}^{r}E(r')\,\mathrm{d}r' =\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}}\ln\!\bigl(\tfrac{r_{0}}{r}\bigr).

Passo 3

Escolhendo o ponto B como referência, com distância r_{B} ao fio e A com distância r_{A}, temos
V(A)-V(B) =\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}}\ln\!\bigl(\tfrac{r_{B}}{r_{A}}\bigr).

Passo 4

Calculamos as distâncias ao fio (que está em x=2,z=0):
r_{A}=\sqrt{(x_{A}-2)^{2}+(z_{A}-0)^{2}} =\sqrt{(2-2)^{2}+(0{,}5)^{2}}=0{,}5\\ \mathrm{m},
r_{B}=\sqrt{(0-2)^{2}+(0-0)^{2}}=2\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Substituindo \lambda=8\times10^{-9}\,\mathrm{C/m} e \epsilon_{0}=8{,}854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}:
V_{AB} =\frac{8\times10^{-9}}{2\pi\,(8{,}854\times10^{-12})} \ln\!\bigl(\tfrac{2}{0{,}5}\bigr) \approx143{,}7\cdot1{,}3863\approx199{,}3\\ \mathrm{V}.

Resposta

V_{AB}\approx2,0\times10^{2}\\ \mathrm{V}.

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