Questão 08: Para uma mistura de dois gases quando estāo em equilibrio na pressāo de 400 \mathrm{kN} / \mathrm{m} 2 a 49^{\circ} \mathrm{C}. Calcule as composições de liquido e vapor. Calcule também a volatilidade relativa ontre estes gases. (2,0 Pontos)
a) Hexano e Pentano

Passo 1

O enunciado dá uma mistura com dois componentes (hexano e pentano) em equilíbrio às condições:
  • Pressão total: P=400\\ \mathrm{kN}/\mathrm{m}^2 = 400\\ \mathrm{kPa}.
  • Temperatura: T=49^\circ\mathrm{C}.
O que o problema pede:
  • Calcular as composições de líquido e de vapor no equilíbrio (frações molares).
  • Calcular a volatilidade relativa entre os dois componentes (isto é, a razão de volatilidade do pentano em relação ao hexano).
Informações relevantes que vou usar (não foram fornecidas no enunciado, então vou usar as equações-padrão e constantes Antoine usuais):
  • Lei de Raoult (para solução ideal): para cada componente i,
y_i\,P = x_i\,P_i^{\mathrm{sat}}(T),
onde x_i é a fração molar no líquido, y_i a fração molar no vapor e P_i^{\mathrm{sat}}(T) a pressão de vapor do componente puro à temperatura T.
  • Equação de Antoine (para calcular P_i^{\mathrm{sat}} a partir de T):
\log_{10} P^{\mathrm{sat}} = A - \frac{B}{T_\mathrm{C}+C},
onde T_\mathrm{C} é a temperatura em graus Celsius e P^{\mathrm{sat}} é dada na mesma unidade que a constante (aqui uso mmHg e depois converto para kPa).
  • Volatilidade relativa (para mistura ideal e pressão total comum):
\alpha_{\text{pent/hex}}=\frac{P_{\text{pent}}^{\mathrm{sat}}}{P_{\text{hex}}^{\mathrm{sat}}}.
Observação importante: com P e T fixos, para existir fase vapor em equilíbrio com a fase líquida é necessário que, para alguma composição do líquido x, a soma x_{\text{pent}}P_{\text{pent}}^{\mathrm{sat}}+x_{\text{hex}}P_{\text{hex}}^{\mathrm{sat}}=P (equação de ponto de ebulição). Se a maior pressão de vapor pura entre os componentes for menor que P, então não é possível obter equilíbrio líquido-vapor àquela T: o sistema estará totalmente líquido (sem vapor). Vou calcular P_i^{\mathrm{sat}} e verificar esse ponto.

Passo 2

Vou calcular as pressões de vapor saturadas dos dois componentes à T=49^\circ\mathrm{C} usando a equação de Antoine. As constantes Antoine (forma log10 P em mmHg, T em ^\circ\mathrm{C}) utilizadas aqui são as comumente usadas em tabelas para n-pentano e n-hexano:
  • Para n-pentano: A=6{,}85223, B=1064{,}84, C=233{,}426.
  • Para n-hexano: A=6{,}91076, B=1171{,}53, C=224{,}00.
Aplicando a equação de Antoine para cada componente (primeiro obtenho P^{\mathrm{sat}} em mmHg e depois converto para kPa usando 1\\ \text{mmHg}=0{,}133322\\ \mathrm{kPa}).
Para o pentano:
\log_{10} P_{\text{pent}}^{\mathrm{sat}} = 6{,}85223 - \frac{1064{,}84}{49+233{,}426}.
Calculemos passo a passo:
49+233{,}426 = 282{,}426, \qquad \frac{1064{,}84}{282{,}426}\approx 3{,}7698,
\log_{10} P_{\text{pent}}^{\mathrm{sat}} \approx 6{,}85223-3{,}7698=3{,}0824,
P_{\text{pent}}^{\mathrm{sat}}\\ (\text{mmHg}) \approx 10^{3{,}0824}\approx 1206\\ \text{mmHg},
P_{\text{pent}}^{\mathrm{sat}}\\ (\text{kPa}) \approx 1206\times 0{,}133322 \approx 160{,}8\\ \mathrm{kPa}.
Para o hexano:
\log_{10} P_{\text{hex}}^{\mathrm{sat}} = 6{,}91076 - \frac{1171{,}53}{49+224{,}00}.
Passo a passo:
49+224{,}00 = 273{,}00, \qquad \frac{1171{,}53}{273{,}00}\approx 4{,}2925,
\log_{10} P_{\text{hex}}^{\mathrm{sat}} \approx 6{,}91076-4{,}2925=2{,}6183,
P_{\text{hex}}^{\mathrm{sat}}\\ (\text{mmHg}) \approx 10^{2{,}6183}\approx 415\\ \text{mmHg},
P_{\text{hex}}^{\mathrm{sat}}\\ (\text{kPa}) \approx 415\times 0{,}133322 \approx 55{,}3\\ \mathrm{kPa}.
Resumo das pressões de vapor saturadas a 49^\circ\mathrm{C}:
P_{\text{pent}}^{\mathrm{sat}}\approx 160{,}8\\ \mathrm{kPa},\qquad P_{\text{hex}}^{\mathrm{sat}}\approx 55{,}3\\ \mathrm{kPa}.

Passo 3

Agora verifica-se se, à T=49^\circ\mathrm{C} e P=400\\ \mathrm{kPa}, existe combinação de frações molares líquidas x_i que satisfaça a condição de ponto de bolha (equilíbrio líquido-vapor):
P = x_{\text{pent}}P_{\text{pent}}^{\mathrm{sat}} + x_{\text{hex}}P_{\text{hex}}^{\mathrm{sat}}, \qquad x_{\text{hex}}=1-x_{\text{pent}}.
O máximo valor que o termo do lado direito pode atingir, variando x_{\text{pent}} entre 0 e 1, é quando x_{\text{pent}}=1, ou seja, o máximo é P_{\text{pent}}^{\mathrm{sat}}\approx 160{,}8\\ \mathrm{kPa}.
Mas a pressão total exigida pelo enunciado é P=400\\ \mathrm{kPa}, que é muito maior do que P_{\text{pent}}^{\mathrm{sat}}. Conclusão lógica: não existe x_{\text{pent}}\in[0,1] tal que a equação de bolha seja satisfeita — mesmo o componente mais volátil puro (pentano) tem pressão de vapor menor que a pressão total dada. Portanto, à T=49^\circ\mathrm{C} e P=400\\ \mathrm{kPa} não há formação de fase vapor em equilíbrio: o sistema estará totalmente na fase líquida (ou seja, a fração molar de vapor é nula).
Em termos práticos: não existe mistura líquido–vapor em equilíbrio nessas condições; não há vapor a não ser traços ou compressão do líquido.

Passo 4

Mesmo não havendo vapor em equilíbrio, é pedido também calcular a volatilidade relativa entre os gases (componentes). Para uma mistura ideal, a volatilidade relativa (pentano em relação a hexano) é dada por
\alpha_{\text{pent/hex}}=\frac{P_{\text{pent}}^{\mathrm{sat}}}{P_{\text{hex}}^{\mathrm{sat}}}.
Substituindo os valores obtidos:
\alpha_{\text{pent/hex}}\approx\frac{160{,}8}{55{,}3}\approx 2{,}91.
Interpretação: à 49^\circ\mathrm{C} o pentano é cerca de 2{,}9 vezes mais volátil que o hexano (ou seja, tende a entrar mais facilmente na fase vapor, se houver vapor).

Passo 5

Resumo físico e resposta às perguntas pedidas:
  • Composições de líquido e vapor no equilíbrio: não há vapor em equilíbrio àquelas condições ( T=49^\circ\mathrm{C}, P=400\\ \mathrm{kPa}); portanto a fração molar na fase vapor é 0 e toda a substância está na fase líquida. Sem informação sobre a composição global inicial da mistura não é possível dar as frações molares líquidas específicas — o equilíbrio não determina uma x única porque não existe a fase vapor para estabelecer relações Raoult. Em palavras simples: não existe par (x,y) de equilíbrio líquido–vapor nas condições dadas.
  • Volatilidade relativa (pentano/hexano) à 49^\circ\mathrm{C}: \alpha_{\text{pent/hex}}\approx 2{,}91.

Resposta

Não existe vapor em equilíbrio à 49^\circ\mathrm{C} e P=400\\ \mathrm{kPa}; o sistema estará totalmente líquido (fração molar de vapor =0).
Volatilidade relativa (pentano/hexano): \alpha_{\text{pent/hex}}\approx 2{,}91.

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