Questão 09: Um óleo combustivel pesado escoa de A para B através de 914,4 \mathrm{~m} de um tubo horizontal de aço de 152 mm . A pressāo em A é de 1068,68 \mathrm{kPa} em è é de 34,47 \mathrm{kPa}. O óleo apresenta uma densidade de 0,918 e viscosidade cinemática é de 41,24 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}. Determine a vazão em \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s}. (1,5 Pontos)

Passo 1

O enunciado pede a vazão volumétrica em \mathrm{m^{3}/s} do óleo que escoa de A para B através de um tubo. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • comprimento do tubo: L=914{,}4\\ \mathrm{m}
  • diâmetro interno do tubo: d=152\\ \mathrm{mm}=0{,}152\\ \mathrm{m}
  • pressão em A: P_A=1068{,}68\\ \mathrm{kPa}=1\,068\,680\\ \mathrm{Pa}
  • pressão em B: P_B=34{,}47\\ \mathrm{kPa}=34\,470\\ \mathrm{Pa}
  • densidade relativa / “densidade” dada: 0{,}918 (assumo que seja gravidade específica, logo \rho=0{,}918\times1000\\ \mathrm{kg/m^3})
  • viscosidade cinemática: \nu=41{,}24\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}=4{,}124\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2/s}
O que se pede: determinar a vazão volumétrica Q em \mathrm{m^3/s}.

Passo 2

Planejamento do método (sem resolver ainda). Para escoamento em tubo horizontal com queda de pressão conhecida, há duas rotas comuns:
  • Se o escoamento for laminar ( \mathrm{Re}<2000), pode-se usar a lei de Hagen–Poiseuille (fórmula direta para Q em escoamento laminar em tubo circular): Q=\frac{\pi\,\Delta P\,d^{4}}{128\,\mu\,L},
onde \Delta P=P_A-P_B e \mu é a viscosidade dinâmica. Essa fórmula é direta e simples.
  • Se o escoamento for turbulento, usa-se Darcy–Weisbach com fator de atrito f (dependente de \mathrm{Re} e rugosidade) e normalmente precisa de iteração (Colebrook/Swamee–Jain).
Aqui a viscosidade cinemática dada é relativamente alta (óleo pesado), então é plausível que o escoamento seja laminar. Vou aplicar a fórmula de Hagen–Poiseuille assumindo laminar e depois verificar a hipótese calculando o número de Reynolds. Se a verificação falhar (Re maior que ~2000), teria que refazer com método turbulento.

Passo 3

Converter e calcular quantidades intermédias:
  • diferença de pressão:
\Delta P = P_A - P_B = 1\,068\,680 - 34\,470 = 1\,034\,210\\ \mathrm{Pa}.
  • densidade:
\rho = 0{,}918\times1000 = 918\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • viscosidade dinâmica (usar \mu=\rho\,\nu):
\nu = 4{,}124\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2/s},
\mu = \rho\,\nu = 918\times4{,}124\times10^{-4}=0{,}3785832\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • diâmetro e seu quarto potência (vão aparecer na fórmula):
d=0{,}152\\ \mathrm{m},
d^{2}=0{,}152^{2}=0{,}023104\\ \mathrm{m^{2}},
d^{4}=0{,}023104^{2}=0{,}000533794816\\ \mathrm{m^{4}}.

Passo 4

Aplicar a fórmula de Hagen–Poiseuille (válida para escoamento laminar em tubo cilíndrico):
Q=\frac{\pi\,\Delta P\,d^{4}}{128\,\mu\,L}.
Agora substitui-se os valores (cada símbolo explicado: Q vazão volumétrica, \Delta P diferença de pressão, d diâmetro, \mu viscosidade dinâmica, L comprimento):
Q=\frac{\pi\cdot(1\,034\,210)\cdot(0{,}000533794816)}{128\cdot(0{,}3785832)\cdot(914{,}4)}.
Calcular numeradores e denominadores passo a passo:
  • numerador:
\pi\,\Delta P\,d^{4}\approx3{,}14159265\times1\,034\,210\times0{,}000533794816\approx1{,}734{,}4\\ (\text{aprox.}).
  • denominador:
128\,\mu\,L=128\times0{,}3785832\times914{,}4\approx44\,310{,}6\\ (\text{aprox.}).
Portanto
Q\approx\frac{1\,734{,}4}{44\,310{,}6}\approx0{,}03914\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 5

Calcular a velocidade média e o número de Reynolds para validar a hipótese laminar:
  • área da seção:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi\times0{,}023104}{4}\approx0{,}0181416\\ \mathrm{m^{2}}.
  • velocidade média:
v=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}03914}{0{,}0181416}\approx2{,}157\\ \mathrm{m/s}.
  • número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{v d}{\nu}=\frac{2{,}157\times0{,}152}{4{,}124\times10^{-4}}\approx796.
Como \mathrm{Re}\approx796<2000, o escoamento é laminar e a aplicação da fórmula de Hagen–Poiseuille estava justificada. Boa notícia: não foi necessário usar métodos iterativos de regime turbulento.

Passo 6

Interpretação final e checagens rápidas:
  • A viscosidade dinâmica calculada e o grande comprimento do tubo explicam uma velocidade moderada e um \mathrm{Re} baixo.
  • A vazão obtida é coerente com as ordens de grandeza para óleo pesado em tubo desse diâmetro e queda de pressão dada.

Resposta

Q\approx0{,}0391\\ \mathrm{m^{3}/s}

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