Questão 08 (Prof. Matheus Pinheiro) -

Um mol de um gás ideal descreve um processo politrópico reversível de um estado inicial cuja pressão é pı e o volume é V_{1} para um estado final em que a pressão é p2 e o volume é V_{2}\left(\right. com \left.V_{2}>V_{1}\right). Sabe-se que um processo politrópico é qualquer processo termodinâmico que pode ser expresso pela equação: p V^{\eta}= constante, onde \eta é conhecido como índice politrópico e pode assumir qualquer valor entre 0 e infinito, dependendo do processo específico.
O calor trocado pelo gás nesse processo em função de \mathrm{p}_{1}, \mathrm{p}_{2}, \mathrm{~V}_{1}, \mathrm{~V}_{2}, n e \gamma, onde \gamma é o expoente de Poisson (definido pela razão entre o calor específico molar a pressão constante ( c_{p} ) e o calor específico molar a volume constante ( c_{v} ), isto é, \gamma=c_{p} / c_{v} ), é:
a) Q=\left(\frac{1}{\gamma-1}+\frac{1}{\eta-1}\right)\left(p_{2} V_{2}-p_{1} V_{1}\right).
b) Q=\left(\frac{\eta-1}{Y-1}\right)\left(p_{2} V_{2}-p_{1} V_{1}\right).
c) Q=\left(\frac{1}{\gamma-1}-\frac{1}{\eta-1}\right)\left(p_{2} V_{2}-p_{1} V_{1}\right).
d) Q=\left(\frac{y-1}{\eta-1}\right)\left(p_{2} V_{2}-p_{1} V_{1}\right).
e) Q=\left(\frac{\gamma}{\gamma-1}-\frac{\eta}{\eta-1}\right)\left(p_{2} V_{2}-p_{1} V_{1}\right).

Passo 1

O enunciado considera um mol de gás ideal que sofre um processo politrópico reversível de (p_{1},V_{1}) até (p_{2},V_{2}) com V_{2}>V_{1} e índice politrópico \eta. Queremos o calor trocado Q em função de p_{1},p_{2},V_{1},V_{2},n e \gamma. Para isso usaremos a Primeira Lei da Termodinâmica
Q = \Delta U + W
onde \Delta U é a variação da energia interna e W o trabalho realizado pelo gás.

Passo 2

Em um processo politrópico temos
p\,V^{\eta} = \text{constante} = C
logo
p = C\,V^{-\eta}
O trabalho realizado é
W = \int_{V_{1}}^{V_{2}} p\,dV = \int_{V_{1}}^{V_{2}} C\,V^{-\eta}\,dV = \frac{C}{1-\eta}\Bigl(V_{2}^{\,1-\eta}-V_{1}^{\,1-\eta}\Bigr).
Como C=p_{1}V_{1}^{\eta}=p_{2}V_{2}^{\eta}, obtemos
W = \frac{p_{2}V_{2}-p_{1}V_{1}}{1-\eta}\,.

Passo 3

Para o gás ideal monatomicamente genérico,
\Delta U = n\,c_{v}\,(T_{2}-T_{1}),
com
c_{v} = \frac{R}{\gamma-1} \quad\text{e}\quad T = \frac{p\,V}{n\,R}.
Logo
T_{2}-T_{1} = \frac{p_{2}V_{2}-p_{1}V_{1}}{n\,R} \quad\Longrightarrow\quad \Delta U = n\,\frac{R}{\gamma-1}\,\frac{p_{2}V_{2}-p_{1}V_{1}}{n\,R} = \frac{p_{2}V_{2}-p_{1}V_{1}}{\gamma-1}\,.

Passo 4

Substituindo em Q=\Delta U+W:
Q = \frac{p_{2}V_{2}-p_{1}V_{1}}{\gamma-1} +\frac{p_{2}V_{2}-p_{1}V_{1}}{1-\eta} =(p_{2}V_{2}-p_{1}V_{1}) \Bigl[\tfrac{1}{\gamma-1}+\tfrac{1}{1-\eta}\Bigr].
Como \tfrac{1}{1-\eta}=-\tfrac{1}{\eta-1}, temos
Q=(p_{2}V_{2}-p_{1}V_{1}) \Bigl[\tfrac{1}{\gamma-1}-\tfrac{1}{\eta-1}\Bigr].

Passo 5

A expressão obtida
Q=\Bigl(\tfrac{1}{\gamma-1}-\tfrac{1}{\eta-1}\Bigr)(p_{2}V_{2}-p_{1}V_{1})
corresponde à alternativa (c).

Resposta

c

Exercícios relacionados