Questão 3 [1,0 ponto] Identifique, forneça uma parametrização e esboce o seu gráfico da curva dada pela equação 4 x^2+4 y^2-28 x+16 y+29=0.

Passo 1

O enunciado pede para identificarmos que tipo de curva é dada por
4x^2+4y^2-28x+16y+29=0,
depois fornecer uma parametrização e, por fim, esboçar seu gráfico. Vamos usar o conteúdo de geometria analítica de comemoração de quadrados e parametrização de círculos.

Passo 2

Para identificar a curva, agrupamos termos quadráticos e lineares em x e em y e completamos quadrados:
4l(x^2-7xr)+4l(y^2+4yr)+29=0
Dentro de cada parêntese, escrevemos
x^2-7x =l(x-tfrac72r)^2-tfrac494, y^2+4y =l(y+2r)^2-4
Substituindo na equação original:
4l[l(x-tfrac72r)^2-tfrac494r] +4l[l(y+2r)^2-4r]+29=0
Longrightarrow 4l(x-tfrac72r)^2-49+4l(y+2r)^2-16+29=0
Longrightarrow 4l(x-tfrac72r)^2 +4l(y+2r)^2 -36=0
Dividindo tudo por 4:
l(x-tfrac72r)^2+l(y+2r)^2=9
Esse é o posto padrão de um círculo de centro l(tfrac72,-2r) e raio 3.

Passo 3

Para parametrizar um círculo de centro l(x0,y0r) e raio r, usamos
x = x0+rcos t, y = y0+rsin t,
com tin[0,2pi]. Aqui x0=tfrac72, y0=-2 e r=3, logo
boxed x(t)=tfrac72+3cos t, y(t)=-2+3sin t, 0<= t<=2pi

Passo 4

Para esboçar, marcamos o centro em l(3,5,-2r) e desenhamos um círculo de raio 3. Isso significa que ele passa pelos pontos l(3,5pm3,-2r) na horizontal e l(3,5,-2pm3r) na vertical.

Resposta

A curva é um círculo de centro l(tfrac72,-2r) e raio 3.
Uma parametrização é
x(t)=tfrac72+3cos t, y(t)=-2+3sin t, 0<= t<=2pi
O esboço é o círculo com centro em l(3,5,-2r) e raio 3.

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