Questão 10.

Um anel circular de raio a está carregado com uma distribuição uniforme de carga p_{L} \mathrm{C} / \mathrm{m} e está no plano x y com seu cixo coincidindo com o eixo z
(a) Demonstre que:
\mathbf{E}(0,0, h)=\frac{\rho_{l} a h}{2 \varepsilon_{0}\left[h^{2}+a^{2}\right]^{1 / 2}} \mathbf{a}_{z}
(b) Para quais valores de h \mathrm{o} \mathbf{E} tem valor máximo?
(c) Se a carga total do anel for Q, determine \mathbf{E} para a \rightarrow 0.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente as informações e as perguntas para não nos perdermos):
  • Um anel circular de raio \,a está carregado com densidade linear de carga \rho_{l} (em C/m).
  • O anel está no plano xy e centrado na origem; seu eixo coincide com o eixo z.
  • Queremos o campo elétrico no ponto sobre o eixo do anel em coordenadas (0,0,h).
As perguntas são:
(a) Demonstrar uma expressão para \mathbf{E}(0,0,h).
(b) Para quais valores de h o módulo de \mathbf{E} é máximo? (e qual é esse valor máximo).
(c) Se a carga total do anel for Q, determinar \mathbf{E} no ponto (0,0,h) no limite a\to 0.

Passo 2

Planejamento e princípios que vou usar (aula rapidinha e prática antes de colocar as contas).
  • Vou usar a Lei de Coulomb para um elemento de carga: a contribuição infinitesimal de campo de um elemento de carga dq é
d\mathbf{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{dq}{r^{2}}\hat{\mathbf{r}},
onde r é a distância do elemento até o ponto onde avalio o campo e \hat{\mathbf{r}} é o versor nessa direção.
  • Geometria: um elemento do anel localizado em ângulo \varphi tem posição (a\cos\varphi,a\sin\varphi,0). A distância ao ponto (0,0,h) é
r=\sqrt{a^{2}+h^{2}}.
  • Simetria: por simetria circular, as componentes radiais (no plano xy) das contribuições de elementos opostos se cancelam; só sobra a componente ao longo de z. Para obter essa componente usamos o cosseno do ângulo entre \hat{\mathbf{r}} e o eixo z:
\cos\theta=\frac{h}{\sqrt{h^{2}+a^{2}}}.
  • Elemento de carga: a densidade linear é \rho_{l}, o comprimento infinitesimal do anel é dl=a\,d\varphi, logo
dq=\rho_{l}\,dl=\rho_{l} a\,d\varphi.
Com isso já tenho tudo para montar a integral do campo.

Passo 3

Calcular a contribuição infinitesimal da componente z do campo.
  • A magnitude do campo devido a dq é
dE=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{dq}{r^{2}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\rho_{l} a\,d\varphi}{h^{2}+a^{2}}.
  • A componente z dessa contribuição é dE_{z}=dE\cos\theta. Substituindo \cos\theta e dE,
dE_{z}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\rho_{l} a\,d\varphi}{h^{2}+a^{2}}\cdot\frac{h}{\sqrt{h^{2}+a^{2}}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\rho_{l} a\,h\,d\varphi}{\left(h^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}.
Isso é intuitivo: aparecem um fator 1/r^{2} da Lei de Coulomb e outro fator \cos\theta que introduz mais um 1/r, totalizando 1/r^{3}=(h^{2}+a^{2})^{-3/2}.

Passo 4

Integrar ao longo de todo o anel (de \varphi=0 a \varphi=2\pi) para obter E_{z}.
  • Como a expressão de dE_{z} é independente de \varphi (a simetria faz isso), a integral é simplesmente multiplicar por 2\pi:
E_{z}=\int_{0}^{2\pi} dE_{z} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\rho_{l} a\,h}{\left(h^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}\int_{0}^{2\pi} d\varphi =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\rho_{l} a\,h}{\left(h^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}\cdot 2\pi.
  • Simplificando o fator \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot 2\pi=\dfrac{1}{2\varepsilon_{0}}, obtemos
E_{z}=\frac{\rho_{l} a\,h}{2\varepsilon_{0}\left(h^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}.
  • Direção: o campo está ao longo do eixo z, portanto o vetor campo é
\mathbf{E}(0,0,h)=\frac{\rho_{l} a\,h}{2\varepsilon_{0}\left(h^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}\;\mathbf{a}_{z}.
Isto responde (a). Observação prática: uma forma equivalente que costuma aparecer é escrever em termos da carga total Q= \rho_{l}\,2\pi a; aí
\mathbf{E}(0,0,h)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q\,h}{\left(h^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}\;\mathbf{a}_{z},
a forma clássica encontrada em muitos livros.

Passo 5

Resolver (b): encontrar h que maximiza o módulo de \mathbf{E} e o valor máximo.
  • Vou maximizar a função escalar
E(h)=\frac{\rho_{l} a\,h}{2\varepsilon_{0}\left(h^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}.
Para facilidade, defino a constante positiva
k=\frac{\rho_{l} a}{2\varepsilon_{0}},
assim E(h)=k\,h\,(h^{2}+a^{2})^{-3/2}.
  • Derivando em relação a h (produto e regra da cadeia):
\frac{dE}{dh}=k\left[(h^{2}+a^{2})^{-3/2}+h\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)(h^{2}+a^{2})^{-5/2}\cdot 2h\right].
  • Simplificando:
\frac{dE}{dh}=k(h^{2}+a^{2})^{-5/2}\bigl[(h^{2}+a^{2})-3h^{2}\bigr] = k(h^{2}+a^{2})^{-5/2}\bigl(a^{2}-2h^{2}\bigr).
  • Zerar a derivada para extremos dá a^{2}-2h^{2}=0\Rightarrow h^{2}=a^{2}/2. Como E(h) muda de zero em h=0 para decair quando h grande, o ponto crítico positivo é máximo:
h=\frac{a}{\sqrt{2}}.
  • Agora o valor máximo E_{\max}=E\bigl(h=a/\sqrt{2}\bigr). Substituindo na expressão:
h^{2}+a^{2}=\frac{a^{2}}{2}+a^{2}=\frac{3a^{2}}{2},
logo
E_{\max}= \frac{\rho_{l} a\,(a/\sqrt{2})}{2\varepsilon_{0}\left(\dfrac{3a^{2}}{2}\right)^{3/2}}.
  • Faça a simplificação passo a passo:
\left(\frac{3a^{2}}{2}\right)^{3/2}=a^{3}\left(\frac{3}{2}\right)^{3/2}=a^{3}\,3^{3/2}2^{-3/2}.
O numerador tem fator a\cdot a/\sqrt{2}=a^{2}2^{-1/2}. Assim
E_{\max}=\frac{\rho_{l}}{2\varepsilon_{0}}\cdot\frac{a^{2}2^{-1/2}}{a^{3}3^{3/2}2^{-3/2}} =\frac{\rho_{l}}{2\varepsilon_{0}}\cdot\frac{2^{-1/2}}{a\,3^{3/2}2^{-3/2}} =\frac{\rho_{l}}{2\varepsilon_{0}}\cdot\frac{2}{a\,3^{3/2}} =\frac{\rho_{l}}{\varepsilon_{0}a\,3^{3/2}}.
  • Portanto o campo máximo vetorial é
\mathbf{E}_{\max}=\frac{\rho_{l}}{\varepsilon_{0}a\,3^{3/2}}\;\mathbf{a}_{z},
ocorrido em h=a/\sqrt{2}.

Passo 6

Resolver (c): limite a\to 0 com carga total Q fixa.
  • Relacione \rho_{l} com Q: Q=\rho_{l}\,2\pi a, então \rho_{l}=\dfrac{Q}{2\pi a}.
  • Substitua na expressão geral (forma em Q que mencionei antes é mais direta). A forma em termos de Q é
\mathbf{E}(0,0,h)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q\,h}{\left(h^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}\;\mathbf{a}_{z}.
  • Tomando a\to 0 (anel se torna uma carga pontual de carga Q na origem), obtemos
\lim_{a\to 0}\mathbf{E}(0,0,h)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q\,h}{h^{3}}\;\mathbf{a}_{z} =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}h^{2}}\;\mathbf{a}_{z},
que é exatamente o campo de Coulomb de uma carga puntiforme Q sobre o eixo, no sentido positivo de z (se Q>0).

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{E}(0,0,h)=\frac{\rho_{l} a\,h}{2\varepsilon_{0}\left(h^{2}+a^{2}\right)^{3/2}}\;\mathbf{a}_{z}
(b) \displaystyle h=\frac{a}{\sqrt{2}}\quad\text{e}\quad \mathbf{E}_{\max}=\frac{\rho_{l}}{\varepsilon_{0}a\,3^{3/2}}\;\mathbf{a}_{z}
(c) \displaystyle \lim_{a\to 0}\mathbf{E}(0,0,h)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}h^{2}}\;\mathbf{a}_{z}

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