Questão 10.
Um anel circular de raio
está carregado com uma distribuição uniforme de carga
e está no plano
com seu cixo coincidindo com o eixo z
(a) Demonstre que:
(b) Para quais valores de
tem valor máximo?
(c) Se a carga total do anel for
, determine
para
.
(a) Demonstre que:
(c) Se a carga total do anel for
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente as informações e as perguntas para não nos perdermos):
- Um anel circular de raio
está carregado com densidade linear de carga (em C/m). - O anel está no plano
e centrado na origem; seu eixo coincide com o eixo . - Queremos o campo elétrico no ponto sobre o eixo do anel em coordenadas
.
As perguntas são:
(a) Demonstrar uma expressão para .
(b) Para quais valores de o módulo de
é máximo? (e qual é esse valor máximo).
(c) Se a carga total do anel for , determinar
no ponto
no limite
.
(a) Demonstrar uma expressão para
(b) Para quais valores de
(c) Se a carga total do anel for
Passo 2
Planejamento e princípios que vou usar (aula rapidinha e prática antes de colocar as contas).
- Vou usar a Lei de Coulomb para um elemento de carga: a contribuição infinitesimal de campo de um elemento de carga
é
onde
é a distância do elemento até o ponto onde avalio o campo e
é o versor nessa direção.
- Geometria: um elemento do anel localizado em ângulo
tem posição . A distância ao ponto é
- Simetria: por simetria circular, as componentes radiais (no plano
) das contribuições de elementos opostos se cancelam; só sobra a componente ao longo de . Para obter essa componente usamos o cosseno do ângulo entre e o eixo :
- Elemento de carga: a densidade linear é
, o comprimento infinitesimal do anel é , logo
Com isso já tenho tudo para montar a integral do campo.
Passo 3
Calcular a contribuição infinitesimal da componente
do campo.
- A magnitude do campo devido a
é
- A componente
dessa contribuição é . Substituindo e ,
Isso é intuitivo: aparecem um fator
da Lei de Coulomb e outro fator
que introduz mais um
, totalizando
.
Passo 4
Integrar ao longo de todo o anel (de
a
) para obter
.
- Como a expressão de
é independente de (a simetria faz isso), a integral é simplesmente multiplicar por :
- Simplificando o fator
, obtemos
- Direção: o campo está ao longo do eixo
, portanto o vetor campo é
Isto responde (a). Observação prática: uma forma equivalente que costuma aparecer é escrever em termos da carga total
; aí
a forma clássica encontrada em muitos livros.
Passo 5
Resolver (b): encontrar
que maximiza o módulo de
e o valor máximo.
- Vou maximizar a função escalar
Para facilidade, defino a constante positiva
assim
.
- Derivando em relação a
(produto e regra da cadeia):
- Simplificando:
- Zerar a derivada para extremos dá
. Como muda de zero em para decair quando grande, o ponto crítico positivo é máximo:
- Agora o valor máximo
. Substituindo na expressão:
logo
- Faça a simplificação passo a passo:
O numerador tem fator
. Assim
- Portanto o campo máximo vetorial é
ocorrido em
.
Passo 6
Resolver (c): limite
com carga total
fixa.
- Relacione
com : , então . - Substitua na expressão geral (forma em
que mencionei antes é mais direta). A forma em termos de é
- Tomando
(anel se torna uma carga pontual de carga na origem), obtemos
que é exatamente o campo de Coulomb de uma carga puntiforme
sobre o eixo, no sentido positivo de
(se
).
Resposta
(a)
(b)
(c)