Questão 8. Duas linhas uniformes de cargas idênticas com
, localizam-se em
e
, no espaço livre. Qual a força por unidade de comprimento que cada linha exerce na outra? Faça uma representação gráfica do problema.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei os dados do enunciado):
- Densidade linear de carga:
. - Há duas linhas de carga idênticas, ambas paralelas ao eixo
, situadas em e em . Ou seja, suas posições no plano são e . - Distância entre as duas linhas (separação):
. - O enunciado pede: calcular a força por unidade de comprimento que cada linha exerce na outra e fazer uma representação gráfica do problema.
Observação/assunção que vou usar sem perguntar: a densidade
é positiva (cargas do mesmo sinal), portanto a força entre elas será de repulsão.
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (explicado passo a passo, bem didático):
-
Campo elétrico de uma linha reta infinita de carga (fórmula e derivação rápida por Gauss).
Escolhemos uma linha infinita com densidade linear(aqui ). Para uma linha infinita, o campo elétrico a uma distância radial do eixo da linha é radialmente simétrico e tem módulo constante sobre uma superfície cilíndrica coaxial.
Tomamos uma superfície gaussiana cilíndrica de raioe comprimento . A carga total dentro dessa superfície é . Pelo Teorema de Gauss: Comoé radial e constante na superfície lateral do cilindro e o fluxo pelas tampas é zero (pois é paralelo às tampas), tem-se Cancelandoe isolando , Aqui:-
é a densidade linear de carga (C/m), -
é a distância radial até a linha (m), -
é a permissividade do vácuo ( ).
-
-
Força por unidade de comprimento entre duas linhas:
A força elétrica total por comprimentoentre duas linhas é (a carga da linha sentirá o campo gerado pela outra). Dividindo por obtemos a força por unidade de comprimento (que é o que o enunciado pede): ondeé a separação entre as duas linhas (m). Essa fórmula dá a magnitude da força por unidade de comprimento. O sentido (direção) é radial ao longo da linha que une as posições das cargas: se a força é de repulsão (cada linha é empurrada para longe da outra).
Passo 3
Aplicando a fórmula aos dados numéricos (contando cada passo de conta):
- Dados numéricos:
- Fórmula:
- Substituindo:
- Calculemos o numerador:
- Calculemos o denominador passo a passo:
Primeiro . Então - Agora a divisão:
Logo
- Arredondando com dois algarismos significativos (compatível com os dados):
Direção do vetor força:
- Como
, a interação é repulsiva. A linha em é empurrada para cima (sentido ); a linha em é empurrada para baixo (sentido ). O módulo da força por unidade de comprimento é o mesmo para ambas.
Passo 4
Representação gráfica (instrução de desenho e um esquema ASCII para visualização rápida):
Como as linhas são paralelas ao eixo
, no plano
aparecem como pontos (suas projeções). Um bom desenho para a prova: desenhe os eixos
horizontal e
vertical; marque os pontos
e
; desenhe duas linhas verticais (paralelas ao eixo
) passando por esses pontos e coloque setas de força afastando uma da outra.
Esquema ASCII (vista no plano
, eixo
saindo da página):
\n
y
^
|
+0,4 m • (linha de carga em x=0,y=+0,4) ↑ F = 1,26×10^{-4} N/m (para +ŷ)
|
|---------------- x = 0 -----------------> x
|
-0,4 m • (linha de carga em x=0,y=-0,4) ↓ F = 1,26×10^{-4} N/m (para −ŷ)
|
\n
\n
y
^
|
+0,4 m • (linha de carga em x=0,y=+0,4) ↑ F = 1,26×10^{-4} N/m (para +ŷ)
|
|---------------- x = 0 -----------------> x
|
-0,4 m • (linha de carga em x=0,y=-0,4) ↓ F = 1,26×10^{-4} N/m (para −ŷ)
|
\n
No desenho acima:
- As bolinhas representam as linhas (projeção no plano
). - Distância vertical entre as bolinhas:
. - As setas indicam a direção da força (repulsiva).
Resposta
A direção é de repulsão ao longo do eixo