Questão 8. Duas linhas uniformes de cargas idênticas com \rho_{\mathrm{L}}=75 \mathrm{n} \mathrm{C} / \mathrm{m}, localizam-se em \mathrm{x}=0 e \mathrm{y}= \pm 0,4 \mathrm{~m}, no espaço livre. Qual a força por unidade de comprimento que cada linha exerce na outra? Faça uma representação gráfica do problema.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei os dados do enunciado):
  • Densidade linear de carga: \rho_{\mathrm{L}}=75\\ \mathrm{nC/m}=75\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m}.
  • Há duas linhas de carga idênticas, ambas paralelas ao eixo z, situadas em x=0 e em y=\pm0,4\\ \mathrm{m}. Ou seja, suas posições no plano xy são (x,y)=(0,\,0{,}4) e (0,\,-0{,}4).
  • Distância entre as duas linhas (separação): d=0{,}4-(-0{,}4)=0{,}8\\ \mathrm{m}.
  • O enunciado pede: calcular a força por unidade de comprimento que cada linha exerce na outra e fazer uma representação gráfica do problema.
Observação/assunção que vou usar sem perguntar: a densidade \rho_{\mathrm{L}} é positiva (cargas do mesmo sinal), portanto a força entre elas será de repulsão.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicado passo a passo, bem didático):
  • Campo elétrico de uma linha reta infinita de carga (fórmula e derivação rápida por Gauss).
    Escolhemos uma linha infinita com densidade linear \lambda (aqui \lambda=\rho_{\mathrm{L}}). Para uma linha infinita, o campo elétrico a uma distância radial r do eixo da linha é radialmente simétrico e tem módulo constante sobre uma superfície cilíndrica coaxial.
    Tomamos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r e comprimento L. A carga total dentro dessa superfície é Q_{\text{int}}=\lambda L. Pelo Teorema de Gauss:
    \Phi_E=\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
    Como \mathbf{E} é radial e constante na superfície lateral do cilindro e o fluxo pelas tampas é zero (pois \mathbf{E} é paralelo às tampas), tem-se
    E\cdot(2\pi r L)=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0}.
    Cancelando L e isolando E,
    E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,r}.
    Aqui:
    • \lambda é a densidade linear de carga (C/m),
    • r é a distância radial até a linha (m),
    • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0\approx8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}).
  • Força por unidade de comprimento entre duas linhas:
    A força elétrica total por comprimento L entre duas linhas é F=\lambda L E (a carga \lambda L da linha sentirá o campo E gerado pela outra). Dividindo por L obtemos a força por unidade de comprimento (que é o que o enunciado pede):
    f'=\frac{F}{L}=\lambda E(r=d)=\lambda\cdot\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,d}=\frac{\lambda^{2}}{2\pi\varepsilon_0\,d},
    onde d é a separação entre as duas linhas (m). Essa fórmula dá a magnitude da força por unidade de comprimento. O sentido (direção) é radial ao longo da linha que une as posições das cargas: se \lambda>0 a força é de repulsão (cada linha é empurrada para longe da outra).

Passo 3

Aplicando a fórmula aos dados numéricos (contando cada passo de conta):
  • Dados numéricos: \lambda=75\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m},\qquad d=0{,}8\\ \mathrm{m},\qquad \varepsilon_0=8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • Fórmula: f'=\frac{\lambda^{2}}{2\pi\varepsilon_0\,d}.
  • Substituindo: f'=\frac{(75\times10^{-9})^{2}}{2\pi\,(8{,}854187817\times10^{-12})\,(0{,}8)}\\ \mathrm{N/m}.
  • Calculemos o numerador: (75\times10^{-9})^{2}=75^{2}\times10^{-18}=5625\times10^{-18}=5{,}625\times10^{-15}\\ \mathrm{C^{2}/m^{2}}.
  • Calculemos o denominador passo a passo: 2\pi\,(8{,}854187817\times10^{-12})\,(0{,}8) =2\pi\times8{,}854187817\times0{,}8\times10^{-12}.Primeiro 8{,}854187817\times0{,}8=7{,}0833502536. Então 2\pi\times7{,}0833502536\times10^{-12}= (6{,}283185307)\times7{,}0833502536\times10^{-12}\approx4{,}450\times10^{-11}.
  • Agora a divisão: f'\approx\frac{5{,}625\times10^{-15}}{4{,}450\times10^{-11}} \\ \mathrm{N/m} =\frac{5{,}625}{4{,}450}\times10^{-4}\\ \mathrm{N/m}.
\frac{5{,}625}{4{,}450}\approx1{,}264.
Logo
f'\approx1{,}264\times10^{-4}\\ \mathrm{N/m}.
  • Arredondando com dois algarismos significativos (compatível com os dados): f'\approx1{,}26\times10^{-4}\\ \mathrm{N/m}.
Direção do vetor força:
  • Como \lambda>0, a interação é repulsiva. A linha em y=+0{,}4 é empurrada para cima (sentido +\hat{y}); a linha em y=-0{,}4 é empurrada para baixo (sentido -\hat{y}). O módulo da força por unidade de comprimento é o mesmo para ambas.

Passo 4

Representação gráfica (instrução de desenho e um esquema ASCII para visualização rápida):
Como as linhas são paralelas ao eixo z, no plano xy aparecem como pontos (suas projeções). Um bom desenho para a prova: desenhe os eixos x horizontal e y vertical; marque os pontos (0,\,0{,}4) e (0,\,-0{,}4); desenhe duas linhas verticais (paralelas ao eixo z) passando por esses pontos e coloque setas de força afastando uma da outra.
Esquema ASCII (vista no plano xy, eixo z saindo da página):
\n
y
^
|
+0,4 m • (linha de carga em x=0,y=+0,4) ↑ F = 1,26×10^{-4} N/m (para +ŷ)
|
|---------------- x = 0 -----------------> x
|
-0,4 m • (linha de carga em x=0,y=-0,4) ↓ F = 1,26×10^{-4} N/m (para −ŷ)
|
\n
No desenho acima:
  • As bolinhas representam as linhas (projeção no plano xy).
  • Distância vertical entre as bolinhas: d=0{,}8\\ \mathrm{m}.
  • As setas indicam a direção da força (repulsiva).

Resposta

\displaystyle f'=\;1{,}26\times10^{-4}\\ \mathrm{N/m}.
A direção é de repulsão ao longo do eixo y: a linha em y=+0{,}4\\ \mathrm{m} sente a força em +\hat{y} e a linha em y=-0{,}4\\ \mathrm{m} sente a força em -\hat{y}.

Exercícios relacionados